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yoshi
24-05-2018 17:09:43

Re,

Ma démo trigo pour r=1 si a =3, b=4, c=5...

[tex]\cos\hat B=\dfrac{AC}{BA}=\dfrac 3 5[/tex]

Avec [tex]\cos\hat B=2\cos^2 \dfrac{\hat B}{2}-1[/tex]
Soit
[tex]2\cos^2 \dfrac{\hat B}{2}-1=\dfrac 3 5\;\Leftrightarrow\;\cos^2 \dfrac{\hat B}{2}=\dfrac 4 5[/tex], d'où [tex]\cos \dfrac{\hat B}{2}=\dfrac{2\sqrt 5}{5}[/tex]

Avec [tex]\sin^2 \dfrac{\hat B}{2}+\cos^2 \dfrac{\hat B}{2}=1[/tex] je déduis que [tex]\sin \dfrac{\hat B}{2}=\dfrac{\sqrt 5}{5}[/tex]

D'où [tex]\tan \dfrac{\hat B}{2}=\dfrac 1 2[/tex]
Je trace [OB]
Dans le triangle BEO rectangle en E, on a : [tex]\widehat{EBO}=\dfrac{\hat B}{2}[/tex]
D'où
[tex]\tan \dfrac{\hat B}{2}=\dfrac{OE}{BE}=\dfrac 1 2[/tex]
Donc [tex]\dfrac {r}{3-r} =\dfrac 1 2[/tex]
et :
[tex]2r=3-r \;\Leftrightarrow 3r=3[/tex] et r=1.

Il y a d'autre méthodes pour calculer la tangente (et calculer r avec 3,4,5)...
J'ai voulu faire appel en trigo au minimum de formules...

@+

yoshi
24-05-2018 16:15:04

Re,

Derien...
Bah... C'est en forgeant qu'on devient forgeron (et même, il paraît que c'est en sciant que Léonard de Vinci... ^_^).

Donc, reviens et questionne !

Au fait,[tex] r=\dfrac1 2(a+b+c)[/tex], vraiment ?
Comme je suis d'un naturel fainéant, je te renvoie à cette lecture (1er exo) qui devrait te faire sursauter :
https://le-castillon.etab.ac-caen.fr/IM … tangle.pdf
Si on prend le plus petit des triangles rectangles avec a,b,c entiers (le célèbre (3,4,5), le rayon est 1 (facile à prouver via la trigo), or [tex]\dfrac1 2(3+4+5)=6[/tex]
Tu vois ce que je veux dire ?

@+

Sidonay
24-05-2018 15:27:17

Bonjour Yoshi,
Merci beaucoup pour cette réponse rapide et précise. J'aurai vraiment besoin de cours...

yoshi
24-05-2018 11:57:23

Bonjour,

Plus qu'une idée : une certitude...
Je nomme deux des points  :  D sur [CA] et E sur [CB].
ODCE est donc un carré et ODC, un triangle rectangle et isocèle en D.
Il y a cette formule simple, que les matheux connaissent par cœur : [tex]OC = r\sqrt 2[/tex]
(Au cas où : c'est l'écriture contractée de [tex]r\times \sqrt 2[/tex])
Si on ne connait pas la formule, on la retrouve avec le théorème de Pythagore :
[tex]OC^2=CD^2+DO^2[/tex]
ou encore :
[tex]OC^2=r^2+r^2=2r^2[/tex]
D'où [tex]OC = r\sqrt 2[/tex]

Ça te va ?

@+

Sidonay
24-05-2018 11:43:19

Bonjour,
Je suis à la recherche d'une formule me permettant de résoudre le problème suivant :

J'ai un cercle inscrit dans un triangle rectangle, les seules donnée que je possède c'est le rayon du cercle et le fait que mon triangle rectangle est rectangle en C. Avec ces données je souhaiterais calculé mon segment CO (Voir illustration).

Cercle inscrit

Quelqu'un aurait-il une solution ?

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