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Fred
17-05-2018 05:13:22

Aux eventuelles constantes près (que je n'ai pas le temps de vérifier) oui.

mati
16-05-2018 19:12:30

Alors on dit que
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 + 4 \pi^2 x^2} dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} Ff(2 \pi x) . Fg(2 \pi x) dx
$$
et par Planchrel
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 + 4 \pi^2 x^2} dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(2 \pi x) . g(2 \pi x) dx.
$$
c'est correct?

Fred
16-05-2018 05:48:46

Bonjour

  Il faut que tu utilises la formule de Plancherel.

F.

mati
15-05-2018 23:22:51

Bonjour
j'ai l'exercice suivant
1- Soit $a>0$ et soit la fonction $f$ définie par $f(x)= e^{-ax} \chi_{[0,+\infty[}(x)$. Calculer $Ff$.
2- Soit la fonction $g$ définie par $g(x)= e^{ax} \chi_{]-\infty,0[}(x)$. Calculer $Fg$0
3. Déduire la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 +4 \pi^2 x^2}$.

Pour les questions 1 et 2 je trouve ceci: $Ff(\xi)= \dfrac{1}{i \xi +a}$ et $Fg= \dfrac{1}{a-i\xi}$.
Comment on déduit l'intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 +4 \pi^2 x^2}$?
J'ai essayé d'écrire que
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 + 4 \pi^2 x^2} dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} Ff(2 \pi x) . Fg(2 \pi x) dx
$$
et après je bloque pour la suite
Merci par avance de m'aider à achever cette question.

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