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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

tibo
13-05-2018 21:40:37

He oui ! Quelque soit le niveau d'expertise, on peut se poser des questions idiotes ou simples ^^

Et celle là je me la pose chaque année durant le chapitre trigo, où pour résoudre des équations trigo, on se retrouve souvent avec des discriminents vraiment moches (contrairement aux autres chapitres où on s'arrange pour n'étudier que des fonctions sympas).
Et à chaque fois je me demande comment faire sans l'indication du bouquin ; et sans prendre le temps de poser proprement le système... jusqu'à aujourd'hui.

Au final je ne suis guère plus avancé : la méthode formelle est trop lourde pour être vraiment appliquée, et ta méthode relève plus de la bidouille. Difficile de l'enseigner...

hicham alpha
13-05-2018 20:20:06

Bonjour
pas de probleme monsieur tibo :)

Monsieur Yoshi, (ca fait longtemps ) en réponse à votre question : je ne crois pas haha
c'était un malentendu, une autre fois haha

Désolé si j'ai commis une faute :)
bonne journée tout le monde.

hicham

yoshi
13-05-2018 18:46:22

Re,

Bin moi, je n'avais pas les yeux en face des trous concernant les dates ! La fatigue d'hier peut-être, un peu de précipitation sûrement : je n'avais pas imaginé que tu demandes de l'aide en 2018...
Il n'en reste pas moins que l'ami Hicham, ne répond pas à la la question posée en donnant deux exemples...

Mon étude est partie sur des bases rigoureuses, pour terminer sur mon côté "Dédé la bricole", qui faisait qu'en Terminale (Pfffiou !, c'est loin !), le premier qui se serait avisé de me pomper dessus, se serait automatiquement auto-dénoncé...

@+

tibo
13-05-2018 18:24:29

Re,

Je suis assez gêné... Désolé Hicham d'avoir déclenché les foudres de yoshi sur ta tête ^^
Peut-être ai-je loupé quelque chose, mais je me souviens avoir écrit mon message hier (et ni à 2h du mat, ni bourré comme ça peut m'arriver parfois).

J'étais parti du même système que toi yoshi, mais les calculs dans le cas général me semblaient rapidement moches ;
et je cherchais plutôt une méthode plus visuelle, quelque chose dans le genre "Je vois que telle décomposition pourrait marcher... [calculs rapides] Ha oui, ça marche.".

Ta méthode fonctionne pas mal. Pas super intuitive, mais elle est rapide et fonctionne bien.

yoshi
13-05-2018 15:30:56

Salut Hicham,

Crois-tu sérieusement, que déterrer un topic vieux de 10 ans apporte quelque-chose ? Dans certains forums c'est d'ailleurs interdit...

Crois-tu sérieusement que tu as apporté une réponse à la question posée par tibo il y a 10 ans, et qui était très précisément ;

Plus généralement, peut-on toujours écrire a+b\sqrt c=(d+e\sqrt f)^2,
et dans les cas où c'est possible, comment faire ??

Crois-tu sérieusement que tibo ait encore besoin de toi aujourd'hui ?
D'une part parce que 10 ans après, le dénommé tibo aurait dû probablement ne plus passer ici...
Et parce qu'en fait le tibo  qui questionnait il y a dix ans  est la même personne qui répond aux questions aujourd'hui, à cette énorme différence près que, dix ans plus tard, il a terminé ses études, et qu'il a maintenant la responsabilité d"expliquer les Maths à des jeunes de ton niveau, dans un Lycée...

Essai rapide (non exhaustif) de réponse :
Si
[tex]a+b\sqrt c= (x+y\sqrt z)^2=(x^2+zy^2)+2xy\sqrt z[/tex]
1. alors [tex]\begin{cases}c&=z\\b&=2xy\\a&=x^2+zy^2\end{cases}[/tex] qui se ramène à [tex]\begin{cases}b&=2xy\\a&=x^2+cy^2\end{cases}[/tex]

2. Plusieurs conclusions
[tex]b\sqrt c[/tex] est un double produit  :
   a) b est pair. Ce n'est pas suffisant, il faut encore que b/2 ne soit pas un nombre premier, sinon, c'est impossible. Ensuite, il faut étudier les décompositions de b en 2 facteurs et chercher laquelle fonctionne..
   b) si b n'est pas pair, soit c'est impossible, soit x est une fraction de dénominateur 2, soit y est une fraction de dénominateur 2, soit  le produit $xy$ est une fraction de dénominateur 2. Cela identifié on revient au a).

Exemples d'application
[tex]88-30\sqrt 7 = ?[/tex]
30 est pair.
30/2=15 n'est pas premier
[tex]15 = 3\times 5 = 5\times 3 = xy[/tex] 
Maintenant on s'attaque à 88 :
[tex]88 = x^2+7y^2[/tex]
2 possibilités (mais 1 seul 1 test) :
[tex](3-5\sqrt 7)^2  et  (5+3\sqrt 7)^2[/tex]
Et je vois que [tex]5^2\times 7 >88[/tex]
Donc la bonne réponse est [tex]x = 5[/tex] et [tex]y=3[/tex]
D'où
[tex]88-30\sqrt 7=(5-3\sqrt 7)^2[/tex]
si j'avais eu : [tex]88+30\sqrt 7[/tex], la réponse aurait été [tex](5+3\sqrt 7)^2[/tex]

@+

hicham alpha
12-05-2018 16:15:10

Bonjour.
3 + 2√2 =1 + 2 + 2√2 =1 + 2*1*√2 + (√2)2 = (1 + √2 )2

14 - 8√3 = 14 - 2*4*√3 = 14 - 2*(4/√2)*√2√3. or on a 14 = 28/2 = (16+12)/2 = 16/2 + 12/2 = (4/√2)2 + 6 = (4/√2)2 + (√6)2.
alors 18 - 8√3 = (4/√2)2 - 2*(4/√2)*√6 + (√6)2 = [(4/√2) - (√6)]2.

Bonne journée
H

tibo
12-05-2018 09:22:02

Salut,

Un peu astucieux... je trouve ça très astucieux.
J'avais eu le même problème dans un autre exercice où on tombait sur $\Delta=3+2\sqrt{2}$.
Heureusement, l'énoncé donnait une indication pour l'écrire sous la forme d'un carré.
Mais sans cette indication... j'aurais été bien embêté...

Existe-t-il une méthode pour trouver une écriture simple de $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$ ou $\sqrt{14-8\sqrt{3}}$ ?
Plus généralement, peut-on toujours écrire $a+b\sqrt{c}=(d+e\sqrt{f})^2$,
et dans les cas où c'est possible, comment faire ?

Hawkram
12-05-2018 06:46:35

Bonjour,
Effectivement, c'est plus clair.

Merci beaucoup pour votre aide.

Roro
12-05-2018 05:58:54

Bonjour,

C'est effectivement un peu astucieux.
Si on avait écrit la chose suivante :
$$
\begin{aligned}
\Delta &= (\sqrt 6 + 2\sqrt 2)^2 - 4(2)(2\sqrt 3) \\
& = \big( (\sqrt 6)^2 + 2 \sqrt 6 (2\sqrt 2) + (2 \sqrt 2)^2 \big) - 4\sqrt 6 (2\sqrt 2) \\
& = (\sqrt 6)^2 - 2 \sqrt 6 (2\sqrt 2) + (2 \sqrt 2)^2 \\
& = (\sqrt 6 - 2\sqrt 2)^2,
\end{aligned}$$
serait-ce plus clair pour toi ?

Roro.

Hawkram
11-05-2018 21:47:26

Bonjour aux membres du forum.

J'ai pris un livre de maths et j'ai fait un exercice sur le chapitre sur le second degré.
Mais, il y a une étape de son corrigé que je ne comprend pas.

Enoncé

Résoudre les équations suivantes.

(a) [tex]x^2+(2\sqrt{2}-2)x+3-2\sqrt{2}=0[/tex]
(b) [tex]2x^2-(\sqrt{6}+2\sqrt{2})x+2\sqrt{3}=0[/tex]

Partie du corrigé

(a) Je n'aborderai pas cette équation car je l'ai correctement résolue.
(b) On calcule le discriminant, [tex]\Delta=(\sqrt{6}+2\sqrt{2})^2-4(2)(2\sqrt{3})=6+8+8\sqrt{3}-16\sqrt{3}=14-8\sqrt{3}=(\sqrt{6}-2\sqrt{2})^2.[/tex]

Voila le problème : comment a-t'on obtenu [tex]\Delta=(\sqrt{6}-2\sqrt{2})^2[/tex] ?
Le corrigé ne donne malheureusement pas plus de détails...
Je ne sais du tout quelle identité remarquable ni quel autre procédé on pourrais bien utiliser pour écrire delta "au carré".
Il est nécessaire d'écrire le discriminant sous cette forme pour simplifier l'écriture des solutions de l'équation.

Je reste en attente d'une réponse,
Merci d'avance pour votre aide.

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