Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

Répondre

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante ?66 + 15
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Retour

Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Wiwaxia
22-05-2018 09:58:59

Bonjour,

freddy a écrit :

... depuis le début, on pressent que ça tourne autour de l'imparité de 45, mais faut bien s'en servir ...

On peut effectivement envisager une généralisation de l'énoncé, afin de parvenir à une meilleure compréhension du problème.

Tout tient aux relations liées à l'existence d'une solution:
(2d): 2b + c = 0 (Mod 3) ,
(3d): b + 2c = 0 (Mod 3) .

Il suffit donc d'introduire le quotient et le reste de la division par 3 des données précédentes, en posant:
b = 3Kb + b1
c = 3Kc + c1
pour obtenir:

6Kb + 2b1 + 3Kc + c1 = 0 (Mod 3)
3Kb + b1 + 6Kc + 2c1 = 0 (Mod 3)

soit finalement deux conditions portant sur deux entiers du domaine [0 ; 2], et conduisant à 32 = 9 cas à examiner:
(2e) 2b1 + c1 = 0 (Mod 3) ,
(3e) b1 + 2c1 = 0 (Mod 3) .

Le tableau ci-dessous contient les valeurs des couples (u = 2b1 + c1 , v = b1 + 2c1):
C1 \ B1                     0                 1                 2

  0                        (0,0)            (2,1)            (4,2) 

  1                        (1,2)            (3,3)            (5,4)

  2                        (2,4)            (4,5)            (6,6)

L'énoncé n'admet finalement de solution que si (et seulement si) u = v , soit d'une manière équivalente:
b - c = 0 (Mod 3) .

Fred
16-05-2018 07:57:49

Excellent!

Zorglub
15-05-2018 22:53:46

Bonjour

Lorsqu’on calcule la population de chaque type avec un modulo 3, on se rend compte qu’avec les données initiales les valeurs sont toutes différentes.  Montrons que si les populations modulo 3 sont

a=0   b=1   c=2

alors, suite à la prochaine rencontre, les populations seront à nouveau toutes différentes, et nécessairement égales à

a’ = 2   b’ = 0   c’ = 1

En effet,

    si A est de la rencontre alors a’ = (a-1)mod3 = 2
    si A est n’est pas de la rencontre alors a’ = (a+2)mod3 = 2

    si B est de la rencontre alors b’ = (b-1)mod3 = 0
    si B est n’est pas de la rencontre alors b’ = (b+2)mod3 = 0

    si C est de la rencontre alors c’ = (c-1)mod3 = 1
    si C est n’est pas de la rencontre alors c’ = (c+2)mod3 = 1

Il est donc impossible que deux des populations soient à 0.

freddy
12-05-2018 07:59:42
Fred a écrit :

Hello,

  Bravo à Wiwaxia et à Tibo, pour des preuves à la présentation différente, mais au final très proches. J'avais effectué le même raisonnement qu'eux, même si je le trouve un poil décevant (j'aurai préféré un pur raisonnement arithmétique).

Fred.

Salut,

oui, je pense un peu comme toi, dommage !

Fred
11-05-2018 21:55:57

Hello,

  Bravo à Wiwaxia et à Tibo, pour des preuves à la présentation différente, mais au final très proches. J'avais effectué le même raisonnement qu'eux, même si je le trouve un poil décevant (j'aurai préféré un pur raisonnement arithmétique).

Fred.

freddy
11-05-2018 17:33:46

Non, ce n'est pas terrible, car je ne tiens pas compte des données initiales du problèmes.

les deux autres preuves sont meilleures !

freddy
11-05-2018 15:57:47

Salut,

depuis le début, on pressent que ça tourne autour de l'imparité de 45, mais faut bien s'en servir.

Une idée : supposons, sans perte de généralité, que, à chaque instant, les caméléons se croisent par leur numéro d'ordre dans la couleur. Les 1 avec les 1, etc ...
Quand ils se confusionnent, ils prennent les numéros qui suivent ceux de la couleur de la tranformation. Si le 1 V et le 1 J se croisent, il deviennent les numéros B 18 et 19.

Supposons qu'on observe 45 B. Ça signifie qu'on en avait la moitié en V et l'autre moitié en J, ce qui est impossible puisqu'on ne peut pas avoir une moitié vivante de caméléon.

Fred ?

tibo
09-05-2018 18:41:01

Salut,

Une solution géométrique

On se place dans $\mathbb{R}^3$.
Un point $A(x,y,z)$ de coordonnées entières représente la situation où $x$ est le nombre de caméléons bleus, $y$ les jaunes et $z$ les verts.

On considère
* $A_0(x_0,y_0,z_0)$ la situation de départ et $N=x_0+y_0+z_0$,
* $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ les vecteurs tels que $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2\\-1\\-1\end{array}\right)$, $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}-1\\2\\-1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\2\end{array}\right)$, représentant la rencontre de deux caméléons de couleurs différentes,
* $\mathcal{E}$ l'ensemble des points que l'on peut atteindre par translations successives de vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ ou $\overrightarrow{w}$ en partant de $A_0$. Il suffit de prendre $\mathcal{E}\cap\mathbb{N}^3$ pour obtenir l'ensemble des situations possibles.

Les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires dans le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x+y+z=N$.
On a donc $\mathcal{E}=\{A\in\mathcal{P}\ /\ A=A_0+\alpha\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}\ avec\ (\alpha,\beta)\in\mathbb{Z}^2\}$.

On faut donc savoir si $B(N,0,0)$, $C(0,N,0)$ ou $D(0,0,N)$ appartient à $\mathcal{E}$.
Cela fait trois petits systèmes à résoudre :
$B=A_0+\dfrac{z_0-y_0}{3}\overrightarrow{u}+\dfrac{y_0+2z_0}{3}\overrightarrow{v}$,
$C=A_0+\dfrac{z_0-x_0}{3}\overrightarrow{u}+\dfrac{x_0+2z_0}{3}\overrightarrow{v}$,
$D=A_0+\dfrac{-2x_0-y_0}{3}\overrightarrow{u}+\dfrac{-x_0-2y_0}{3}\overrightarrow{v}$.

En remplaçant $x_0$, $y_0$ et $z_0$ par les valeurs de l'énoncé, on obtient des coefficients non entiers.
Donc ce n'est pas possible.

Wiwaxia
08-05-2018 23:06:47

Bonjour,

Supposons qu'il y ait sur l'île à une date donnée (a, b, c) caméléons des couleurs respectives (A, B, C), et que dans l'intervalle de temps qui suit:
# (x) caméléons de couleur (B) rencontrent (x) caméléons de couleur (C): chacun des effectifs (b, c) diminue de (x), tandis que celui de la tierce couleur (A) augmente de (2x);
# de même (y) animaux de couleur (C) rencontrant un partenaire de couleur (A), les effectifs correspondants (c, a) diminuent de (y), tandis que celui de couleur (B) augmente de (2y);
# et enfin (z) animaux de couleur (A) rencontrant un partenaire de couleur (B), les effectifs correspondants (a, b) diminuent de (z), tandis que celui de couleur (C) augmente de (2z).

On trouve désormais (a', b', c') caméléons de couleur (A, B, C), effectifs dont les valeurs vérifient les relations:
(1): a' = a + 2x - y - z ,
(2): b' = b + 2y - z - x ,
(3):c' = c + 2z - x - y ,
système d'équations linéaires non indépendantes puisque l'effectif total doit rester constant:
S = a' + b' + c' = a + b + c .

Si de plus il ne subsiste plus qu'une seule couleur (A), alors a' = a + b + c tandis que les deux autres termes sont nuls: b' = c' = 0 ;
il vient dans ces conditions:
(1a): y + z = 2x - (b + c) ,
(2a): 2y - z = x - b ,
(3a): 2z - y = x - c ,
système d'équations à une indétermination dans lequel la première est la somme des deux suivantes, et dont la résolution conduit aux expressions de (y) et (z):
(2b): y = x - (2b + c)/3 ,
(3b): z = x - (b + 2c)/3 .
Les résultats concernant des variables entières, et les sommes (2b + c , b + 2c) n'étant jamais divisibles par 3 compte tenu des valeurs envisageables - 13, 15 ou 17 - il n'y a pas de solution au problème posé.

Il faudrait pour cela que deux au moins des trois données soient multiples de 3 .

PS: Pour reprendre un peu mieux la conclusion: les calculs précédents débouchent sur:
(2c): 3(y - x) = (2b + c) ,
(3c): 3(z - x) = (b + 2c) ,
soit encore:
(2d): 2b + c = 0 (Mod 3) ,
(3d): b + 2c = 0 (Mod 3) ,
conditions qui ne sont jamais réalisées simultanément sur le jeu des données (13, 15 ou 17).

Fred
30-04-2018 21:29:41

Bonjour,

  L'histoire se passe sur une ile déserte. Enfin, déserte, pas tout à fait. Quarante-cinq caméléons vivent sur cette ile. Ce sont des caméléons un peu étranges qui, comme tous les caméléons, aiment à changer de couleur. Il y en a des bleus, des jaunes, des verts. Comme tous les caméléons, ils aiment changer de couleur. Ainsi, quand deux caméléons se rencontrent, s'ils possèdent déjà la même couleur, rien ne se passe. Mais si deux caméléons de couleurs différentes se rencontrent, alors ils prennent la troisième couleur.
  Lorsque je suis arrivé sur cette île déserte, il y avait 13 caméléons verts, 15 caméléons jaunes, 17 caméléons bleus. Est-ce qu'il est possible que tous les caméléons prennent la même couleur?

Fred.

PS: D'après Au fil des maths, le Bulletin de l'APMEP.

Pied de page des forums