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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- fast and maths
- 22-05-2018 15:10:24
Salut,
Voir ton cours sur les fonctions convexes... et compare le log de la moyenne et la moyenne des log.
Il s 'agit en réalité de moyenne arithmétique et géométrique!
- fast and maths
- 22-05-2018 15:06:04
on peut aussi faire comme sa
[tex]{ \left( \sqrt { a } -\sqrt { b } \right) }^{ 2 }\ge 0\quad \Leftrightarrow \quad \quad a+b\ge 2\sqrt { ab } \quad \Leftrightarrow \dfrac { a+b }{ 2 } \ge \sqrt { ab } \quad \Leftrightarrow \ln { \left( \dfrac { a+b }{ 2 } \right) } \ge \dfrac { \ln { a } +\ln { b } }{ 2 }[/tex]
- fast and maths
- 21-05-2018 18:18:49
Bonjour,
Je cherche à montrer que pour des réels [tex]a,b > 1[/tex], on a [tex]\frac{\ln(a) + \ln(b)}{2} \le \ln(\frac{a+b}{2})[/tex].
Je pensais avoir réussi, mais je me suis rendu compte que mon raisonnement était faux. Après plusieurs nouvelles tentatives, je n'y arrive pas.
J'ai pensé, est-ce qu'il est possible de fixer par exemple [tex]b[/tex] et de dériver par rapport à [tex]a[/tex] une fonction qui vaudrait la différence des deux quantités en question ? Ou bien y aurait-il un moyen plus simple ?Au final, je veux montrer que [tex]\sqrt{\ln(a)\ln(b)} \le \ln(\frac{a+b}{2})[/tex] et j'ai déjà que [tex]\sqrt{\ln(a)\ln(b)} \le \frac{\ln(a) + \ln(b)}{2}[/tex].
Merci beaucoup pour votre aide.
Bonjour suis au lycée, je pense qu'on peut faire comme sa
[tex]x\mapsto \ln { x\quad }[/tex]croissante sur [tex]R^*+[/tex] donc aussi sur [tex]\left[ 1,\infty \right][/tex]
[tex]{ \left( a-b \right) }^{ 2 }\ge 0\quad \Leftrightarrow { \left( a+b \right) }^{ 2 }\ge 4ab\quad \Leftrightarrow { \left( \dfrac { a+b }{ 2 } \right) }^{ 2 }\ge ab\quad \Leftrightarrow \ln { \left( ab \right) } \le \ln { \left( \dfrac { a+b }{ 2 } \right) ^{ 2 } } \Leftrightarrow \ln { a+\ln { b } } \le 2\ln { \left( \dfrac { a+b }{ 2 } \right) }[/tex]
[tex]\forall a,b\ge 1,\dfrac { \ln { a } +\ln { b } }{ 2 } \le \ln { \left( \dfrac { a+b }{ 2 } \right) }[/tex]
- Binks
- 13-04-2018 16:03:48
Merci beaucoup pour ta réponse..
En plus j'ai montré de manière similaire qq chose dans une question précédente, mais je n'ai pas pensé à l'appliquer ici..
Bonne journée !
- Black Jack
- 13-04-2018 14:39:49
Salut,
Une manière parmi d'autres.
Je n'aime pas donner une réponse détaillée, mais pas facile de faire autrement dans cerains cas.
(a - b)² >= 0 (comme carré)
a² + b² - 2ab >= 0
a² + b² - 2ab + 4ab >= 4ab
a² + b² + 2ab >= 4ab
(a+b)² >= 4ab
[(a+b)/2]² >= ab
et comme la fonction ln() est strictement croissante sur R*+ et que les 2 membres de l'inéquation sont > 0, on a aussi :
ln[(a+b)/2]² >= ln(ab)
2.ln[(a+b)/2] >= ln(a) + ln(b)
ln[(a+b)/2] >= (ln(a) + ln(b))/2
- Binks
- 13-04-2018 13:38:15
Je ne comprends pas trop en fait, [tex]\ln[/tex] semble être concave.. Sous-entends-tu qu'il faudrait passer à l'exponentielle dans la comparaison ?
J'ai du mal à voir comment comparer le log de la moyenne et la moyenne des log, cela a l'air assez compliqué pour ce qui est demandé, non ?
Je continuerai à regarder ça un peu plus tard.
- Binks
- 13-04-2018 13:00:59
Bonjour,
Merci pour votre réponse. Je n'ai pas de cours sur les fonctions convexes, mais je vais faire des recherches en ce sens.
- D_john
- 13-04-2018 06:55:27
Salut,
Voir ton cours sur les fonctions convexes... et compare le log de la moyenne et la moyenne des log.
- Binks
- 13-04-2018 01:14:21
Bonjour,
Je cherche à montrer que pour des réels [tex]a,b > 1[/tex], on a [tex]\frac{\ln(a) + \ln(b)}{2} \le \ln(\frac{a+b}{2})[/tex].
Je pensais avoir réussi, mais je me suis rendu compte que mon raisonnement était faux. Après plusieurs nouvelles tentatives, je n'y arrive pas.
J'ai pensé, est-ce qu'il est possible de fixer par exemple [tex]b[/tex] et de dériver par rapport à [tex]a[/tex] une fonction qui vaudrait la différence des deux quantités en question ? Ou bien y aurait-il un moyen plus simple ?
Au final, je veux montrer que [tex]\sqrt{\ln(a)\ln(b)} \le \ln(\frac{a+b}{2})[/tex] et j'ai déjà que [tex]\sqrt{\ln(a)\ln(b)} \le \frac{\ln(a) + \ln(b)}{2}[/tex].
Merci beaucoup pour votre aide.