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Utilise $|x-x_0|<1$.

Tu as à la fois $|x-x_0|<1$ et $|x-x_0|<\frac{\epsilon}{2(|y_0|+1)}$. Les deux informations sont importantes pour pouvoir conclure.

F.

Excuse moi fred mais comment tu demontres que |x| < |x0| + 1 je ne vois pas d information sur x0 .. peut etre ai je raté quelque chose sans doute

Bonjour Juliette (et ton amie anonyme!),

  Voici deux pistes :

1) Cette question correspond à une démonstration très classique : si $(x_n)$ tend vers $\ell$ et si $(y_n)$ tend vers $\ell'$, alors le produit $(x_ny_n)$ tend vers $\ell \ell'$. L'idée de base pour ceci est la décomposition suivante :

$xy-x_0y_0=(x-x_0)y_0+x(y-y_0).$

En utilisant l'inégalité triangulaire, il suffit de majorer la valeur absolue de chaque élément de la somme.
Le premier terme ne devrait pas te poser de problèmes, en utilisant la majoration de $|x-x_0|$. Le second est à peine plus dur. Tu vas devoir aussi utiliser que $|x|\leq |x_0|+1$.

2) Voici l'idée. Si $(a_n)$ tend vers 0, et si $(a_n)$ prend des valeurs strictement positives, disons que $a_{n_0}>0$, alors, à partir d'un certain rang, disons $N$, puisque ta suite $(a_n)$ tend vers 0, tu auras $a_n<a_{n_0}/2$. Et donc la borne supérieure de la suite sera atteinte puisqu'elle correspondra à une valeur prise par la suite pour un rang compris entre $0$ et $N-1$.
Si on formalise, cela donne : ou bien la suite $(a_n)$ est identiquement nulle, et là, il n'y a aucune problème!
Ou bien il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que $a_{n_0}>0$. En appliquant la définition de la convergence d'une suite pour $\varepsilon=a_{n_0}/2$, il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n\geq N$, on a $a_n<a_{n_0}/2$.
En particulier, $\sup\{a_n;\ n\geq N\}\leq a_{n_0}/2\leq \sup\{a_n;\ n\in\mathbb N\}$.

On a alors $\sup\{a_n;\ n\in\mathbb N\}=\sup\{a_n;\ n\in\{0,\dots,N-1\}$ et donc la borne supérieure est atteinte puisque prise sur un ensemble fini.

F.