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Yassine
17-02-2018 17:53:08

Bonsoir,
Ma parenthèse expliquait qu'il n'est pas canonique parce qu'on est obligé de fixer une base. Chaque choix de base donne un isomorphisme différent, donc absolument pas canonique.

Arnaud66
17-02-2018 16:59:51

Pardon Yassine :

Yassine a écrit :

$GL(V)$ représente le groupe des automorphismes (donc $\mathbb{K}$ linéaires) d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $V$.
Si $V$ est de dimension finie égale à $n$, alors ces deux groupes sont isomorphes, mais de manière non canoniques (il faut se fixer une base de $V$).

Pourquoi l'isomorphisme devient canonique lorsqu'on fixe une base ?
Merci d'avance.

Yassine
15-02-2018 08:04:48

C'est pire alors !
Reprenons :
$GL_n(\mathbb{K})=GL(n,\mathbb{K})$ est le groupe des matrices carrées inversibles $n \times n$ à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$.
$GL(V)$ représente le groupe des automorphismes (donc $\mathbb{K}$ linéaires) d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $V$.
Si $V$ est de dimension finie égale à $n$, alors ces deux groupes sont isomorphes, mais de manière non canoniques (il faut se fixer une base de $V$).

Par contre, comme en général $V$ n'a pas de structure de corps, la notation $GL_n(V)$ ou  $GL(n,V)$ n'a pas de sens.

$\mathbb{Q(\alpha_1,...\alpha_n)}$ est un corps qui peut être vu comme un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel de dimension non nécessairement égale à $n$ (La dimension de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ est $2$ alors que celle de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ est $3$ par exemple).

La représentation dont parle ton cours est formellement définie comme suit :

$\rho: \mathfrak{S_n} \to GL(\mathbb{Q(\alpha_1,...\alpha_n)})$ où $\rho(\sigma)$ est l'unique automorphisme de $\mathbb{Q}(\alpha_1,...\alpha_n)$ vérifiant $\rho(\sigma)(\alpha_i)=\alpha_{\sigma(i)}$.

Arnaud66
14-02-2018 17:19:58

Pardon, Yassine, j'ai noté [tex]\mathrm{GL}_n ( \mathbb{Q}( \alpha_1 , \dots , \alpha_n ) )[/tex] et non [tex]\mathrm{GL}_n ( \mathbb{Q} )[/tex]. Regarde bien ?  :-)

Yassine
12-02-2018 20:04:49

Bonsoir,
Je ne suis pas sûr d'avoir tout compris.
Pour alléger, je note $V=\mathbb{Q}(\alpha_1,...\alpha_n)$.

D'abord, la base de $V$ en tant que $\mathbb{Q}$-espace vectoriel dépend des $\alpha_i$ (cas extrême, s'ils sont rationnels, la dimension est $1$).

Ensuite, je ne vois pas trop pourquoi tu parles de matrices. Les éléments de $GL(V)$ sont des automorphisme de $V$ et la représentation d'un groupe $\rho: G \to GL(V)$ qui n'a pas de raison d'être isomorphe à $GL_n(\mathbb{Q})$ (comme je l'ai dit, la dimension de $V$ n'est pas $n$).

Donc, $Gal(f)$ va agir sur $V$ en échangeant les racines, ce qui peut se voir en effet comme une représentation du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ : un automorphisme de $V$ est entièrement déterminé si on connait l'image de chaque $\alpha_i$, donc un élément $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ va agir sur $V$ en envoyant chaque $\alpha_i$ sur $\alpha_{\sigma(i)}$

Arnaud66
12-02-2018 18:08:35

Pardon Yassine. Je sais que l'action du groupe de Galois [tex]\mathrm{Gal} ( f )[/tex] sur [tex]\mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n )[/tex] qui est : [tex] \mathrm{Gal} (f) \times \mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n) \to \mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n )[/tex] s’identifie à la représentation : [tex]\rho \ : \ S_n \to \mathrm{GL}_n ( \mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n ) )[/tex] , néanmoins, pour appeler [tex]\rho[/tex] une représentation, il faut que [tex] \mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n )[/tex] soit un [tex]\mathbb{Q}[/tex] - espace vectoriel, et il l'est, car [tex]\mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n )[/tex] est une [tex]\mathbb{Q}[/tex]  - algèbre fini par définition. Mais, j'ai du mal à comprendre pourquoi les éléments de [tex] \mathrm{GL}_n ( \mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n ) )[/tex] sont des matrices. La base canonique de [tex]\mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n )[/tex]  en tant que [tex]\mathbb{Q}[/tex] - espace vectoriel est la base [tex] \mathcal{B} = \{ \ {\alpha_{1}}^{k_{1}} , \dots \alpha_{n}^{k_{n}} \ \}[/tex]  avec : [tex]0 \leq | k | = \sum_j k_j \leq n[/tex] , non ? Si, on prend [tex]\sigma \in S_n[/tex]  : le groupe symétrique d'ordre [tex]n![/tex]  pourquoi alors, [tex] \rho ( \sigma )[/tex] est une matrice de permutation si on tient compte de la base : [tex]\mathcal{B} = \{ \ {\alpha_{1}}^{k_{1}} , \dots \alpha_{n}^{k_{n}} \ \}_{ (k_1 , \dots , k_n ) \in \mathbb{N} \\ 0 \leq |k| \leq n }[/tex]  ... D'accord, j'ai compris, parce que : [tex]\rho ( \sigma ) ( \alpha_i ) = \alpha_j[/tex]  avec : [tex] \alpha_i \neq \alpha_j[/tex] .

Yassine
12-02-2018 15:56:18

Je ne suis pas un grand expert de la théorie de Galois, mais je peux essayer...

En premier, est-ce que tu vois/sais qu'un élément de $Gal(f)$, différent de l'identité, va échanger les racines de $f$ ?

Arnaud66
12-02-2018 14:57:35

Merci beaucoup Yassine. C'est gentil.  :-)
svp, j'ai une autre question mais une question en toute évidence un peu facile si on connait bien son cours de théorie de Galois et théorie des représentations :
Pourquoi l'action du groupe de Galois d'un polynôme [tex] f [/tex] qu'on note par [tex] \mathrm{Gal} (f) [/tex] sur le corps de ses racines [tex] \mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n ) [/tex] peut être vue comme une représentation d'un groupe symétrique ?

Merci infiniment pour votre aide.

Yassine
30-01-2018 07:49:49

Bonjour,
Dans le sens "seulement si" (condition nécessaire) :
$f$ a ses zéros dans un corps de racines $\Omega$ et ces zéros s'expriment via des opérations de corps et d'extraction de racines à partir d'éléments de $K$.
On considère $E_1$ l'ensemble des racines $n$-ième d'éléments de $K$ qui interviennent dans ces opérations. Si $E_1$ est vide, on a fini et on pose $m=0$, donc $K_m=K$ et $f$ est scindé sur $K[X]$.
Sinon, $E_1=\{\sqrt[p_i]{\beta_i},\ \beta_i \in K \textrm{ et } \ i=1\cdots m_1\}$.
On pose alors $\alpha_i=\sqrt[p_i]{\beta_i}$ et on construit successivement les extensions $K_{i}=K_{i-1}[\alpha_i]$, jusqu'à aboutir à $K_{m_1}$ (en particulier $E_1 \subset K_{m_1}$ et on a bien $\alpha_i^{p_i} = \beta_i \in K_{i-1}$).
Ensuite, on recommence en considérant $E_2$ l'ensemble des racines $n$-ième d'éléments de $K_{m_1}$ qui interviennent dans les opérations de construction des zéros de $f$. Si cet ensemble est vide, on a fini et on pose $m=m_1$, sinon on recommence la même opération avec comme point de départ $K_{m_1}$.
Ce processus finira par s'arrêter au bout de $k$ étapes (les étapes nécessaires à la construction des zéros de $f$ sont finies). On posera alors $m=m_k$ et les zéros de $f$ seront alors des éléments de $K_m$ (il n'y a plus d'extraction de racine impliquée) et $f$ est donc scindé sur $K_m[X]$.

Arnaud66
30-01-2018 00:03:38

Merci beaucoup Yassine. Tu peux m'aider pour l'autre implication qui reste ( Pour que je puisse comprendre ?
Merci infiniment.  :-)

Yassine
29-01-2018 21:10:33

Dans le sens "si" (condition suffisante)
$f$ scindé dans $K_m[X]$ : les racines de $f$ sont directement des éléments de $K_m$
On sait que $K_m=K_{m-1}[\alpha_{m}]$ avec $\alpha_m \in K_m$ et $\alpha_m^{p_{m}} \in K_{m-1}$
Donc les éléments de $K_m$ (et en particulier les racines de $f$) s'expriment comme des combinaisons (finies) d'éléments de $K_{m-1}$ et des puissances de $\alpha_m$, qui est lui même une racine $p_{m}$-ième d'une éléments de $K_{m-1}$. Donc les éléments de $K_{m}$ s'obtiennent à partir de ceux de $K_{m-1}$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.
De manière similaire, les éléments de de $K_{m-1}$ s'obtiennent à partir de ceux de $K_{m-2}$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.
Et ainsi de suite jusqu'à arriver à $K_0=K$. Donc, les éléments de $K_m$ s'obtiennent à partir de ceux de $K$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.

Dans le sens "seulement si" (condition nécessaire), je dois réfléchir un peu plus, j'ai un doute.

Arnaud66
29-01-2018 16:14:42

Les deux.

Yassine
29-01-2018 15:53:25

Bonjour,
Est-ce qu'il y a un sens du "si et seulement si" qui te pose problème ou les deux ?

Arnaud66
29-01-2018 13:56:24

Bonjour à tous,

Dans le premier paragraphe du lien suivant : http://www.les-mathematiques.net/b/b/i/node3.php , il est dit que :

Définition : On dit qu'un polynôme [tex] f \in K[X] [/tex]  est résoluble par des radicaux si, et seulement si, les racines de [tex] f [/tex] dans un corps des racines peuvent être construites à partir des coefficients de [tex] f [/tex] en un nombre fini d'étapes faisant intervenir les quatre opérations élémentaires [tex] + [/tex],[tex] - [/tex],[tex] \times [/tex],[tex] \div [/tex] et l'extraction de racines [tex] n [/tex] - ième pour des entiers naturels appropriés [tex] n [/tex].

Il découle de cette définition, qu'un polynôme [tex] f\in K\left[ X\right] [/tex] est résoluble par des radicaux si, et seulement si, il existe des corps [tex] K_{0},K_{1},...,K_{m}[/tex] tels que [tex]K_{0}=K[/tex] , le polynôme [tex] f [/tex] est scindé dans [tex] K_{m}\left[ X\right] [/tex] et pour tout entier [tex] i [/tex] entre [tex] 1 [/tex] et [tex] m [/tex], le corps [tex] K_{i} [/tex] est obtenu à partir du corps [tex] K_{i-1}[/tex], par l'adjonction d'un élément [tex]\alpha_{i}\in K_{i}[/tex] qui vérifie [tex] \alpha_{i}^{p_{i}}\in K_{i-1} [/tex] pour un certain entiers positif [tex] p_{i}[/tex].

Pouvez vous svp m'expliquez en détail pourquoi : les racines de [tex] f [/tex] dans un corps des racines peuvent être construites à partir des coefficients de [tex] f [/tex] en un nombre fini d'étapes faisant intervenir les quatre opérations élémentaires [tex] + [/tex],[tex] - [/tex],[tex] \times [/tex],[tex] \div [/tex] et l'extraction de racines [tex] n [/tex] - ième pour des entiers naturels appropriés [tex] n [/tex] si et seulement si  il existe des corps [tex] K_{0},K_{1},...,K_{m}[/tex] tels que [tex]K_{0}=K[/tex] , le polynôme [tex] f [/tex] est scindé dans [tex] K_{m}\left[ X\right] [/tex] et pour tout entier [tex] i [/tex] entre [tex] 1 [/tex] et [tex] m [/tex], le corps [tex] K_{i} [/tex] est obtenu à partir du corps [tex] K_{i-1}[/tex], par l'adjonction d'un élément [tex]\alpha_{i}\in K_{i}[/tex] qui vérifie [tex] \alpha_{i}^{p_{i}}\in K_{i-1} [/tex] pour un certain entiers positif [tex] p_{i}[/tex]

Merci infiniment.

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