Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,
Ma parenthèse expliquait qu'il n'est pas canonique parce qu'on est obligé de fixer une base. Chaque choix de base donne un isomorphisme différent, donc absolument pas canonique.

C'est pire alors !
Reprenons :
$GL_n(\mathbb{K})=GL(n,\mathbb{K})$ est le groupe des matrices carrées inversibles $n \times n$ à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$.
$GL(V)$ représente le groupe des automorphismes (donc $\mathbb{K}$ linéaires) d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $V$.
Si $V$ est de dimension finie égale à $n$, alors ces deux groupes sont isomorphes, mais de manière non canoniques (il faut se fixer une base de $V$).

Par contre, comme en général $V$ n'a pas de structure de corps, la notation $GL_n(V)$ ou  $GL(n,V)$ n'a pas de sens.

$\mathbb{Q(\alpha_1,...\alpha_n)}$ est un corps qui peut être vu comme un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel de dimension non nécessairement égale à $n$ (La dimension de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ est $2$ alors que celle de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ est $3$ par exemple).

La représentation dont parle ton cours est formellement définie comme suit :

$\rho: \mathfrak{S_n} \to GL(\mathbb{Q(\alpha_1,...\alpha_n)})$ où $\rho(\sigma)$ est l'unique automorphisme de $\mathbb{Q}(\alpha_1,...\alpha_n)$ vérifiant $\rho(\sigma)(\alpha_i)=\alpha_{\sigma(i)}$.

Bonsoir,
Je ne suis pas sûr d'avoir tout compris.
Pour alléger, je note $V=\mathbb{Q}(\alpha_1,...\alpha_n)$.

D'abord, la base de $V$ en tant que $\mathbb{Q}$-espace vectoriel dépend des $\alpha_i$ (cas extrême, s'ils sont rationnels, la dimension est $1$).

Ensuite, je ne vois pas trop pourquoi tu parles de matrices. Les éléments de $GL(V)$ sont des automorphisme de $V$ et la représentation d'un groupe $\rho: G \to GL(V)$ qui n'a pas de raison d'être isomorphe à $GL_n(\mathbb{Q})$ (comme je l'ai dit, la dimension de $V$ n'est pas $n$).

Donc, $Gal(f)$ va agir sur $V$ en échangeant les racines, ce qui peut se voir en effet comme une représentation du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ : un automorphisme de $V$ est entièrement déterminé si on connait l'image de chaque $\alpha_i$, donc un élément $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ va agir sur $V$ en envoyant chaque $\alpha_i$ sur $\alpha_{\sigma(i)}$

Je ne suis pas un grand expert de la théorie de Galois, mais je peux essayer...

En premier, est-ce que tu vois/sais qu'un élément de $Gal(f)$, différent de l'identité, va échanger les racines de $f$ ?

Bonjour,
Dans le sens "seulement si" (condition nécessaire) :
$f$ a ses zéros dans un corps de racines $\Omega$ et ces zéros s'expriment via des opérations de corps et d'extraction de racines à partir d'éléments de $K$.
On considère $E_1$ l'ensemble des racines $n$-ième d'éléments de $K$ qui interviennent dans ces opérations. Si $E_1$ est vide, on a fini et on pose $m=0$, donc $K_m=K$ et $f$ est scindé sur $K[X]$.
Sinon, $E_1=\{\sqrt[p_i]{\beta_i},\ \beta_i \in K \textrm{ et } \ i=1\cdots m_1\}$.
On pose alors $\alpha_i=\sqrt[p_i]{\beta_i}$ et on construit successivement les extensions $K_{i}=K_{i-1}[\alpha_i]$, jusqu'à aboutir à $K_{m_1}$ (en particulier $E_1 \subset K_{m_1}$ et on a bien $\alpha_i^{p_i} = \beta_i \in K_{i-1}$).
Ensuite, on recommence en considérant $E_2$ l'ensemble des racines $n$-ième d'éléments de $K_{m_1}$ qui interviennent dans les opérations de construction des zéros de $f$. Si cet ensemble est vide, on a fini et on pose $m=m_1$, sinon on recommence la même opération avec comme point de départ $K_{m_1}$.
Ce processus finira par s'arrêter au bout de $k$ étapes (les étapes nécessaires à la construction des zéros de $f$ sont finies). On posera alors $m=m_k$ et les zéros de $f$ seront alors des éléments de $K_m$ (il n'y a plus d'extraction de racine impliquée) et $f$ est donc scindé sur $K_m[X]$.

Dans le sens "si" (condition suffisante)
$f$ scindé dans $K_m[X]$ : les racines de $f$ sont directement des éléments de $K_m$
On sait que $K_m=K_{m-1}[\alpha_{m}]$ avec $\alpha_m \in K_m$ et $\alpha_m^{p_{m}} \in K_{m-1}$
Donc les éléments de $K_m$ (et en particulier les racines de $f$) s'expriment comme des combinaisons (finies) d'éléments de $K_{m-1}$ et des puissances de $\alpha_m$, qui est lui même une racine $p_{m}$-ième d'une éléments de $K_{m-1}$. Donc les éléments de $K_{m}$ s'obtiennent à partir de ceux de $K_{m-1}$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.
De manière similaire, les éléments de de $K_{m-1}$ s'obtiennent à partir de ceux de $K_{m-2}$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.
Et ainsi de suite jusqu'à arriver à $K_0=K$. Donc, les éléments de $K_m$ s'obtiennent à partir de ceux de $K$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.

Dans le sens "seulement si" (condition nécessaire), je dois réfléchir un peu plus, j'ai un doute.

Bonjour,
Est-ce qu'il y a un sens du "si et seulement si" qui te pose problème ou les deux ?