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Yassine
12-01-2018 15:11:11

De rien.
Ce serait bien alors de mettre tout le calcul pour que ça reste sur le forum pour les autres !

AlainJ_89
12-01-2018 12:41:15

Merci Yassine pour cette indication !

Le polynôme de Lagrange n'est en effet pas utilisable (en l'état) ici, car celui-ci exige un point de contrôle de plus que le degré du polynôme...

La décomposition en éléments simples de [tex]\frac{1}{1-x^n} [/tex] dans le corps (scindé) des complexes a été le chemin le plus efficace, et permet de surcroît de calculer le produit des sinus des termes d'une progression arithmétique.

Yassine
08-01-2018 20:23:45

Bonsoir,
Voici des pistes, je n'ai pas réussi (eu le courage) à aller au bout.
D'abord, on écrit $x^2-2x\cos{\frac{2k\pi}{n}}+1=(x-\cos{\frac{2k\pi}{n}})^2 + \sin^2{\frac{2k\pi}{n}}$
Si on note $\omega_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ la $k$_ième racine $n$-ième de l'unité, on a alors
$x^2-2x\cos{\frac{2k\pi}{n}}+1=(x-\omega_k)(x-\overline{\omega_k})$
Ce qui permet d'écrire
$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{k=n} {\frac{1}{x^2-2x\cos{\frac{2k\pi}{n}}+1}}=\sum_{k=1}^{k=n} {\frac{1}{(x-\omega_k)(x-\overline{\omega_k})}}$

Comme les $\omega_k$ sont les racines $n$-ième de l'unité, on a alors $x^n - 1 =\Pi_{k=1}^n (x-\omega_k)$
On a donc (on remarquant que $\overline{\omega_k} = \omega_{n-k}$) :
$\displaystyle (x^n-1)S=\sum_{k=1}^{k=n} \Pi_{i=1,i\neq k,i\neq n-k}^n (x-\omega_i)$

Ensuite, si je note $P(X)=X^n + 1$, alors, en utilisant le polynôme interpolateur de Lagrange, on a
$P(x)= \sum_{k=1}^{k=n}P(\omega_k)\Pi_{i=1,i\neq k}^n\dfrac{x-\omega_i}{\omega_k-\omega_i} $
On a de plus $P(\omega_k)=2$ pour tout $k$.
Donc
$\displaystyle 2\sum_{k=1}^{k=n}\Pi_{i=1,i\neq k}^n\dfrac{x-\omega_i}{\omega_k-\omega_i} =1+x^n$

Et je coince là pour le moment. ça semble être la bonne approche, mais le nombre de termes ne colle pas.

AlainJ_89
08-01-2018 15:31:24

Bonjour,

J'ai vérifié (numériquement sur quelques valeurs) l'identité :

[tex]\forall  {   \ (0\le x<1)  },\ \forall  {   \ (n\in \mathbb{N}^*)  },\       \frac{1-x^2}{n} \sum_{k=1}^{k=n} {\frac{1}{x^2-2x\cos{\frac{2k\pi}{n}}+1}}=\frac{1+x^n}{1-x^n}[/tex]

mais suis incapable de la démontrer...

J'ai tenté quelques approches, en considérant [tex]x=\cos{ \theta}[/tex] par exemple, ou encore [tex]\cos{\alpha}=\Re({e^{\imath \alpha}})[/tex] mais sans succès.


Qui pourra le faire ?

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