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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- freddy
- 13-01-2018 21:48:35
Re,
Oui, je comprends bien.
Il y a un souci pour n=2, non ?
f(2)=-1 et f(-1)= 26 et non 2 ...
@Yassine : m'en doutais un peu :-)
- Yassine
- 13-01-2018 09:45:37
Re,
Je sais que la fonction $f(x)=1-x$ vérifie la contrainte. La question est de connaitre toutes les fonctions, et donc de trouver des conditions nécessaires.
La seule propriété $\forall x, f(f(x))=1-f(x)$ ne permet pas de conclure que $\forall x, f(x)=1-x$
Par exemple, une fonction définie par $\forall n \in \mathbb{Z}, f(n)=1-n$ et $\forall x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}, f(x)=[x]^2+25$ vérifie bien $\forall x, f(f(x))=1-f(x)$
[EDIT]
Correction pour freddy : remplacer $\mathbb{N}$ par $\mathbb{Z}$
- freddy
- 12-01-2018 21:31:38
Cela étant, ça n’invalide pas la forme de f, non ? D’autant qu’on vérifie qu’elle vérifie la contrainte pour tout x et y, non ?
- freddy
- 12-01-2018 12:18:47
Yassine,
vu, OK !
- Yassine
- 12-01-2018 12:01:41
Salut
- freddy
- 12-01-2018 10:32:45
Hello,
ce que j'ai trouvé dans la nuit.
- Yassine
- 11-01-2018 21:29:26
Bravo Roro !
- Roro
- 11-01-2018 21:16:23
Bonsoir,
Suite... et fin.
Le point clé est de montrer que $f$ est injective :
Roro.
- Yassine
- 11-01-2018 10:47:40
Bonjour,
- Roro
- 10-01-2018 20:42:02
Bonsoir,
Un début d'idée :
à suivre...
Roro.
- Roro
- 10-01-2018 17:42:56
Bonsoir,
C'est exact. Si ce que je propose fonctionne (je n'ai pas fait les calculs précisément...), elle ne permet d'obtenir que les solutions dérivables. Mais c'est déjà pas mal !!!
Roro.
- Yassine
- 10-01-2018 10:00:04
Bonjour,
Mazette, il faut remettre le travail sur le métier !
@Roro : Je n'ai pas vu de moyen simple pour montrer que la fonction était continue (sans parler de dérivable). Donc, avec ta solution, on ne trouve pas toutes les fonctions, mais uniquement celles qui sont dérivables.
- Roro
- 10-01-2018 00:03:59
Bonsoir,
Si on cherche des solutions dérivables, en dérivant l'équation par rapport à $x$ (par exemple), et en évaluant en $y=0$ on doit en déduire que soit $f=0$, soit $af'(af(x))+1=0$, où $a=f(0)$.
Ensuite, en évaluant l'équation dérivée en $x=0$ je crois qu'on en déduit une équation différentielle linéaire dont on peut trouver les solutions.
Il faut ensuite vérifier lesquels satisfont l'équation initiale (on trouve f=0 ou f=1-x).
A vérifier...
Roro.
- tibo
- 09-01-2018 21:24:11
Re,
[edit] @Yassine : Vu que tu avais l'air d'accord avec ma conjecture, mais que j'y ai trouvé un contre exemple, j'ai regardé ta démonstration et effectivement il y a une erreur.
Tu as oublié un $fof$ à la fin.
- Yassine
- 08-01-2018 16:46:13