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Bonjour,

La suite proposée U_n = (5ⁿ+(-2)ⁿ/)10ⁿ
est la somme de deux autres, dont d'une est monotone et l'autre alternée:
U_n = V_n + W_n , avec V_n = (5/10)ⁿ  et  W_n = (-2/10)ⁿ .

Les sommes associées:
Su_n = Somme_k=0ⁿ(u_k)
Sv_n = Somme_k=0ⁿ(v_k)
Sw_n = Somme_k=0ⁿ(w_k)
vérifient par définition: Su_n = Sv_n + Sw_n
et les deux dernières sont celles de deux suites géométriques de raisons (0.5) et (-0.2), donc inférieures à l'unité en valeur absolue.

En conséquence Sv_n et Sw_n convergent et admettent pour limites respectives: Lv = 1/(1 - 0.5) = 2 , Lw = 1/(1 - (-0.2)) = 1/1.2 = 5/6 .
Donc Su_n converge, et a pour limite Lu = Lv + Lw .

Une réponse plus rapide concernant la convergence de la première série est cependant possible dans la mesure où le rapport:
r = (u_n / v_n) = (0.5ⁿ + (-0.2)ⁿ) / 0.5ⁿ = 1 + (-2/5)ⁿ
tend vers (1) losrque (n) tend vers l'infini (en raison du fait que Abs(-2/5) < 1);
la suite (u_n) est donc équivalente à (v_n) quand (n) augmente indéfiniment, et comme la somme associée à cette dernière converge, il en va de même pour Su_n.
N'est-ce pas l'un des critères de convergence des séries? (Lointains souvenirs ...)

Bonjour
5/10=0.5 donc de raison inférieur à 1 donc la série diverge

Bonjour

   $ 5^n/10^n=(5/10)^n $ et tu as donc une série géométrique !

F