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YousAk
06-12-2017 13:21:39

Bojour ,
Merci Yassine ,J'ai déja pris un $\varepsilon=\min[\alpha-|d(x,a)-d(a,a)|,\beta-|d(x,b)-d(b,b)|]$ sans succès.

Yassine
06-12-2017 09:25:23

Bonjour,
Je ne pense pas que cette propriété soit vraie.
Sur $\mathbb{R}^2$ avec sa topologie usuelle (sa distance est en particulier une presque distance), l'intersection de deux disques est rarement un disque.
Pour montrer qu'une pré-base est une base, il faut montrer que l'intersection de deux éléments en contient un troisième.
Dans ton cas, l'intersection de deux boules en contient une troisième.

Une piste (que j'ai commencé à regarder sans aboutir, faute de temps et d'intérêt) :
Prendre $x \in B(a,\alpha) \cap B(b,\beta)$ et essayer de construire un $\epsilon$ tel que $B(x,\epsilon) \subset B(a,\alpha) \cap B(b,\beta)$ en utilisant l'inégalité triangulaire.
J'ai essayé $\epsilon = \dfrac{1}{2}\min\left[a - (d(x,a)-d(a,a)), b - (d(x,b)-d(b,b))\right]$ sans succès.

YousAk
05-12-2017 18:37:55

Bonsoir,
Autrement j'aimerais montrer que l'intersection de deux boules est encore une boule.

Fred
05-12-2017 07:42:28

Bonjour

  Quelle est la topologie induite par une presque distance ?

F

YousAk
05-12-2017 02:23:51

Bonsoir ,
Un espace ''presque  métrique'' est un ensemble non vide muni d'une appication :$d:X\times X\rightarrow R^+$ tels que pour tout $x,y,z$ :

$$ 1)\,d(x,y)=0\rightarrow x=y$$

$$ 2)\,d(x,y)=d(y,x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

$$ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3)\,d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$$


On définit aussi la boule ouverte par:
$$B(x,\varepsilon)=\{x\in X:|d(x,y)-d(x,x)|<\varepsilon\}$$
J'ai trouvé dans un papier que l'ensemble des boules ouvertes formment une base pour la topologie induite par $d$.Comment on peut montrer ce résultat .Merci

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