Si on pose [tex]X(t)=\alpha(t)-\lambda[/tex]
On a [tex]\begin{align*}
\det(A_t-\lambda\; I)&=X(t)^2-4r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})X(t)-\beta(t)^2
\end{align*}[/tex]
[tex]\begin{align*}\Delta(t)&=16r^2\;sh(\frac{t}{2})^2\;ch(\frac{t}{2})^2+4\beta(t)^2\\&=16r^2\;sh(\frac{t}{2})^2\;ch(\frac{t}{2})^2+4*16ar^2sh^4(t/2)=16r^2sh^2(t/2)(ch(\frac{t}{2})^2+a\;sh^2(t/2)\ge 0\end{align*}[/tex]
[tex]\begin{align*}X_1(t)&=\frac{4r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})-4rsh(t/2)\sqrt{(ch(\frac{t}{2})^2+4a\;sh^2(t/2)}}{2}\\&=2r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})-2rsh(t/2)\sqrt{(ch(\frac{t}{2})^2+4a\;sh^2(t/2)}\end{align*}[/tex]
[tex]\begin{align*}X_2(t)&=\frac{4r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})+4rsh(t/2)\sqrt{(ch(\frac{t}{2})^2+4a\;sh^2(t/2)}}{2}\\&=2r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})+2rsh(t/2)\sqrt{(ch(\frac{t}{2})^2+4a\;sh^2(t/2)}\end{align*}[/tex]
et donc les deux valeurs propres de [tex]A_t[/tex] sont
[tex]\begin{align*}\lambda_1(t)&=\alpha(t)-X_1(t)\\&=\Big(ch(\frac{t}{2})+r\;sh(\frac{t}{2})\Big)^2+4a\;sh^2(\frac{t}{2}) -2r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})+2rsh(t/2)\sqrt{(ch(\frac{t}{2})^2+4a\;sh^2(t/2)}\end{align*}[/tex]
et [tex]\begin{align*}\lambda_2(t)&=\alpha(t)-X_2(t)\\&=\Big(ch(\frac{t}{2})+r\;sh(\frac{t}{2})\Big)^2+4a\;sh^2(\frac{t}{2}) -2r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})-2rsh(t/2)\sqrt{(ch(\frac{t}{2})^2+4a\;sh^2(t/2)}\end{align*}[/tex]
]]>Pour pour tout [tex]t\ge 0[/tex], on note [tex]r=\sqrt{1+4a}[/tex] où [tex]a\ge 0[/tex] est un paramètre et on considère
[tex]A_t=\begin{pmatrix}\Big(ch(\frac{t}{2})+r\;sh(\frac{t}{2})\Big)^2+4a\;sh^2(\frac{t}{2})&4a^{1/2}r\;sh^2(\frac{t}{2})\\4a^{1/2}r\;sh^2(\frac{t}{2})&\Big(ch(\frac{t}{2})-r\;sh(\frac{t}{2})\Big)^2+4a\;sh^2(\frac{t}{2})\end{pmatrix}[/tex]
Je veux déterminer les valeurs propres de la matrice [tex]A_t[/tex].
[tex]\lambda[/tex] est une valeur propre de [tex]A_t[/tex] si et seulement si [tex]\det(A_t-\lambda\; I)=0[/tex]
J'ai noté [tex]\alpha(t)=\Big(ch(\frac{t}{2})+r\;sh(\frac{t}{2})\Big)^2+4a\;sh^2(\frac{t}{2})[/tex] et [tex]\beta(t)=4a^{1/2}r\;sh^2(\frac{t}{2})[/tex]
et donc [tex]A_t=\begin{pmatrix}\alpha(t)&\beta(t)\\ \beta(t)&\alpha(t)-4r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})\end{pmatrix}[/tex]
Par suite [tex]\begin{align*}
\det(A_t-\lambda\; I)&=\Big(\alpha(t)-\lambda\Big)\Big(\alpha(t)-4r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})-\lambda\Big)-\beta(t)^2\\&=\Big(\alpha(t)-\lambda\Big)^2-4r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})\Big(\alpha(t)-\lambda\Big)-\beta(t)^2
\end{align*}[/tex].
Je n'arrive pas à conclure. Y a-t-il quelqu'un qui a une astuce ?
Merci en avance.