[tex]Re\Big(a_nz^n\Big)=Re\Big((Re(a_n)+iIm(a_n))(R^n(cos(n\theta)+isin(n\theta)))\Big)=R^n[Re(a_n) (cos(n\theta))-Im(a_n)sin(n\theta)][/tex]
et
[tex]|a_nz^n|=(Re(a_n)^2+Im(a_n)^2)^{1/2}R^n[/tex]
Il faut choisir [tex]\theta[/tex] tel que
[tex]Re(a_n) cos(n\theta)-Im(a_n)sin(n\theta)=(Re(a_n)^2+Im(a_n)^2)^{1/2}[/tex]
je n'arrive pas à trouver un tel [tex]\theta[/tex]. Merci de m'aider
]]> Tu choisis un $z$ avec $|z|=R$ et tel que $Re(a_n z^n)=|a_nz^n|=|a_n|R^n$ (je te laisse justifier l'existence d'un tel $z$, écris $a_n$ sous forme trigo...). Puis ensuite
$$Re(P(z))\geq Re(a_n z^n)-\sum_{i=0}^{n-1}|a_i||z^i|$$
et tu termines comme précédemment....
F.
]]>[tex]M(R)=max_{|z|=R}|f(z)|[/tex] vérifie
[tex]\displaystyle c_2e^{c'_2R^n}\le M(R)\le c_1e^{c'_1R^n}[/tex] pour [tex]R[/tex] assez grand
]]>J'ai une autre question:
Pour un polynôme de degré $n$ on considère
[tex]f(z) = e ^{p_n(z)}[/tex], je veux montrer qu'il existent des constantes [tex]c_1,c'_1,c_2, c'_2[/tex] tel que
[tex]c_2e^{c'_2R^n}\le |f(z)|\le c_1e^{c'_1R^n}[/tex] pour [tex]R[/tex] assez grand.
voici ce que j'ai écrit:
[tex]|f(z) |= |e ^{p_n(z)}|=e ^{Re(p_n(z))}\le e^{|p_n(z)|}\le e^{cR^n}[/tex] pour [tex]R[/tex] supérieur ou égal à 1 où [tex]c=n \max_{0 \leq k \leq n} |a_k| R^n[/tex] (on utilise l'inégalité triangulaire)
Mais pour l'inégalité à gauche je n'ai pas pu la montré. Je serai reconnaissante si vous m'aidez
]]>$\sum_{i=1}^{n-1}|a_i|r^i\le \frac{|a_n|}2 r^n$
pour $r$ assez grand....
F.
]]>[tex]\displaystyle \Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|\le \sum_{i=1}^{n} |a_i|\;|z|^i=\sum_{i=1}^{n} |a_i|\;r^i\le \sum_{i=1}^{n} |a_i|\;r^n[/tex] car pour [tex]r[/tex] assez grand [tex]r^k\le r^n[/tex] pour tout [tex]1\le k\le n-1[/tex]
pour le terme à gauche [tex]\displaystyle \Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|[/tex] implique
[tex]\displaystyle |a_nz^n|-|\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| \le |\displaystyle P(z)|[/tex] implique
[tex]\displaystyle |a_nz^n|-\sum_{i=1}^{n-1}| a_i|\;|z|^i\le |\displaystyle P(z)|[/tex] et je sait pas quoi faire ici?
]]>[tex]\Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|\le |\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i|+|a_nz^n|[/tex]
et ensuite que faut il faire?
]]>Sépare dans ton polynôme le terme de plus haut degré des autres puis majore et minore en utilisant l'inégalité triangulaire de la façon la plus naïve possible.
Fred
]]>Merci de m'aider à montrer le résultat suivant:
Soit [tex]P[/tex] un polynôme alors [tex]P=\sum_{n=1}^{+\infty} a_nz^n[/tex] avec [tex]a_n=\frac{f^{n}(0)}{n!}[/tex].
Montrer qu'il existe deux constantes [tex]C_1[/tex] et [tex]C_2[/tex] strictement positives tel que
[tex]C_1 r^n\le M(r)\le C_2 r^n[/tex] pour [tex]r[/tex] assez grand? où [tex]M(r)=max_{|z|=r}|P(z)|[/tex]
Merci en avance
]]>