oui, d'accord.
Mon calcul et résultat ne tient toutefois pas compte de cet affichage.
Salut,
ce que Fred voulait dire est de calculer $\int (1+t^2)^3\;dt$
Je trouve de mon côté, sauf erreur : $ \frac{1}{30}\frac{1}{\cos^5 x}\times (10\sin x + 5\sin3x+\sin5x)+ C$
Je ne sais pas si ça t'aide.
Salut Freddy,
Je pense que tu as oublié d'ajuster le $dx$ dans le changement de variable. En effet, $\dfrac{1}{\cos^6(x)}=(1+t^2)^3$, par contre $dx = \dfrac{1}{1+t^2}dt$, ce qui correspond à l'intégrale indéfinie indiquée par Fred.
$\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^6(x)}dx = \displaystyle \int (1+t^2)^2 dt = t + \dfrac{2}{3}t^3 + \dfrac{1}{5}t^5 + C$
soit encore
$\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^6(x)}dx = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} + \dfrac{2}{3}\dfrac{\sin^3(x)}{\cos^3(x)} + \dfrac{1}{5}\dfrac{\sin^5(x)}{\cos^5(x)} + C$
Après, comme le disais Fred, il faut avoir le courage de faire des calculs :
$\sin^5(x) = (\sin^2(x))^2\sin(x) = (1-\cos^2(x))^2\sin(x) = \sin(x) - 2\cos^2(x)\sin(x) + \cos^4(x)\sin(x)$
idem pour $\sin^3(x)$ et assembler les termes après.
changement de variable
x = vu2
y = uv2
ce que Fred voulait dire est de calculer $\int (1+t^2)^3\;dt$
Je trouve de mon côté, sauf erreur : $ \frac{1}{30}\frac{1}{\cos^5 x}\times (10\sin x + 5\sin3x+\sin5x)+ C$
Je ne sais pas si ça t'aide.
]]> Avec le changement de variables que je t'ai donné, on cherche désormais une primitive de $(1+t^2)^2 dt$ non?
En développant, on peut facilement trouver une primitive, puis on remplace $t$ par $\cos x$? Où bloques-tu?
Evidemment on ne trouve pas la forme que tu donnes, puisqu'on a quelque chose du type $a (\sin x/\cos x)^5+b(\sin x/\cos x)^3+c\sin x/\cos x$. Si on veut se ramener à la forme que tu donnes, il faut encore remplacer $\sin^2$ par $1-\cos^2$, mais je n'ai pas eu le courage de faire les calculs!
Fred.
]]>Olivier
]]>Connais-tu cette page du site qui explique la plupart des méthodes classiques pour calculer une intégrale.
A l'aide de ce qui est écrit, je te conseille le changement de variables $t=\tan x$. Les formules
$$dt=\frac{dx}{\cos^2 x}\textrm{ et }\frac{1}{\cos^2 x}=1+t^2$$
pourront sans doute t'aider.
F.
]]>intégrale de 1/cos^6xdx= sinx/5cos^5x +4sinx/15cos^3x +8sin/15cosx
mais je n'arrive pas à le démontrer, même par intégration par partie. Qui peut m'aider. Merci
]]>