Soit $a$ un réel quelconque et je note $A_a = \{x < a \ | f(]x,a])=\{f(a)\}\}$ et $B_a = \{x > a \ | f([a,x[)=\{f(a)\}\}$
Vue la propriété de $f$, $A_a \neq \emptyset$ et $B_a\neq \emptyset$. Je peux donc considérer $x_m = \inf A_a$ et $x_M = \sup B_a$ ($x_m$ est le plus grand de tous le minorants et $x_M$ le plus petit de tous les majorants) .
Supposons que $x_m \in \mathbb{R}$ (fini). Alors, $f(x_m) \neq f(a)$. En effet, si $f(x_m) = f(a)$, alors, il existe $\epsilon > 0$ tel que $f(]x_m-\epsilon, x_m+\epsilon[)=\{f(a)\}$ et donc $x_m-\epsilon \in A_a$ contredisant $x_m = \inf A_a$.
Il existe alors $\alpha > 0$ tel que $f(]x_m-\alpha, x_m+\alpha[)=\{f(x_m)\} \neq \{f(a)\}$. Quitte à diviser $\alpha$ par un $n>2$ qui convient, on peut supposer $x_m + \alpha < a$. On a alors $\forall x \in [x_m,x_m + \alpha], x \notin A_a$, donc $x_m+\alpha$ est également un minorant de $A_a$ or $x_m + \alpha > x_m$, contredisant $x_m = \inf A_a$.
On fait de même pour $x_M$.
Si bien que $x_m = -\infty$ et $x_M = +\infty$ et donc $A_a \cup B_a = \mathbb{R}$.
tu devrais aussi m'exclure ;-)
]]>F.
]]>Suite à une remarque de PTRK lors d'un fil sur les distributions, je propose une colle amusante aux jeunes étudiants du Forum (les vieux qui ont envie peuvent participer aussi ;-) ).
Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction qui vérifie la propriété de suppra-continuité suivante (terme complètement inventé pour l'occasion) :
pour tout $x \in \mathbb{R}$ il existe un voisinage $V$ de $x$ tel que $f$ soit constante sur $V$.
Montrer que $f$ est constante sur $\mathbb{R}$