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| Formulaire - Série de Fourier |
Coefficients de Fourier
- Définition :
soit f une fonction 2pi-périodique, continue par morceaux (ou intégrable). Les coefficients de Fourier exponentiels de f sont définis par :
- Méthodes pratiques de calcul :
- Intervalle d'intégration : on peut remplacer ci-dessus l'intervalle [0,2pi] par n'importe quel autre intervalle de longueur 2pi.
- Parité : si f est paire, les coefficients de Fourier en sinus, bn(f), sont nuls. Si f est impaire, les coefficients de Fourier en cosinus, an(f) sont nuls.
- Définition : on appelle série de Fourier de f la série :
- Théorème de Dirichlet :
Attention, il existe des fonctions continues qui ne sont pas somme de leur série de Fourier!Théorème : Soit f une fonction continue, C1 par morceaux, 2pi-périodique. Alors la série de Fourier de f converge normalement vers f. - Egalité de Parseval :
Théorème : Soit f une fonction continue par morceaux, 2pi-périodique. Alors on a les égalités suivantes : 
Si f est continue T-périodique, il est usage d'introduire sa pulsation définie par
. Les coefficients de Fourier de f sont alors définis par :
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