$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Trinôme du second degré - Formulaire Bibm@th

Forme canonique
$$ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right].$$
Discriminant et racines
  Posons $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant de ax2+bx+c.
  • Si $\Delta>0$, on pose u=x+b/2a, et $\delta=\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$. Alors : $$ax^2+bx+c=a\left(u^2-\delta^2\right)=a(u-\delta)(u+\delta).$$ L'équation ax2+bx+c=0 est donc équivalente à $u=\delta$ ou $u=-\delta$. Elle admet donc deux racines simples, qui sont : $$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\textrm{ et }x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}.$$
  • Si $\Delta=0$, il y a une racine réelle double : $$x_0=\frac{-b}{2a}.$$
  • Si $\Delta<0$, il n'y a pas de racines réelles.
Tableau de signes
  Dans le cas où il y a deux racines réelles x1 et x2, nous avons le tableau de signes suivant :
Dans les autres cas, ax2+bx+c est toujours du signe de a, avec éventuellement annulation à la racine double.
Cas des nombres complexes
  Dans le cas où $\Delta<0$, on a des racines complexes conjuguées :
Lien entre les racines et les coefficients
  Si le trinôme $ax^2+bx+c$ admet pour racines $x_1$ et $x_2$, si $S=x_1+x_2$ est la somme des deux racines, et si $P=x_1x_2$ est le produit de ces deux racines, alors $$ax^2+bx+c=a(x^2-SX+P).$$