$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formulaire - Formules de Taylor

Formule de Taylor-Lagrange
  Soit $f$ une fonction définie et $n$ fois dérivable sur un segment $[a,b]$, qui est aussi $(n+1)$ fois dérivable sur l'intervalle ouvert $]a,b[$. Alors il existe un réel $c$ de $]a,b[$ tel que : $$f(b)=f(a)+\frac{b-a}{1!}f'(a)+\dots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)+\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c).$$
Formule de Taylor-Young
  Soit $f$ une fonction définie et $n$ fois dérivable sur un voisinage $V=]a-h,a+h[$ d'un point $a$ telle que $f^{(n+1)}(a)$ existe. Alors, pour tout $x$ tel que $|x|<h$, on a $$f(a+h)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}x +\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}x^{n+1}+x^{n+1}\varepsilon(x),$$ où $\varepsilon(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $a$.

  Il est important de remarquer la différence essentielle entre ces deux formules de Taylor : la première est une formule globale, qu'on utilise lorsque l'on souhaite réaliser des majorations sur tout un intervalle par exemple. La seconde est une formule locale, qui sert essentiellement à l'obtention de développements limités.
Formule de Taylor avec reste intégral
  Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal C^{n+1}$ sur un segment [a,b]. On a : $$f(b)=f(a)+\frac{b-a}{1!}f'(a)+\dots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)+\int_a^b \frac{(b-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)dt.$$   La formule de Taylor avec reste intégral est une généralisation du théorème fondamental du calcul intégral, et s'obtient par récurrence en effectuant des intégrations par parties.