$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire - Suites arithmétiques - Suites géométriques

Suites arithmétiques

  Une suite $(u_n)$ est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que un+1=un+r pour tout entier n. r s'appelle la raison de la suite.

  • Expression du terme général :

  • Expression de la somme des premiers termes : On définit Sn par . Alors Sn est égal à
  • Somme de termes consécutifs : Plus généralement, si on cherche à calculer , alors Sn est égal à

    On retient souvent cette formule sous la forme :

Suites géométriques

  Une suite $(u_n)$ est une suite géométrique s'il existe un nombre $q$ tel que $u_{n+1}=q\times u_n$ pour tout entier $n$. $q$ s'appelle la raison de la suite.

  • Expression du terme général :

  • Expression de la somme des premiers termes : On définit $S_n$ par . Alors $S_n$ est égal à
  • Somme de termes consécutifs : Plus généralement, si on cherche à calculer , alors $S_n$ est égal à

    On retient souvent cette formule sous la forme :

  • Comportement à l'infini : une suite arithmétique de raison $q$ et de premier terme $u_0>0$
    • tend vers $+\infty$ si $q>1$;
    • est constante si $q=1$;
    • tend vers 0 si $|q|<1$;
    • n'a pas de limites si $q\leq -1$.

Suites arithmético-géométriques
  Une suite $(u_n)$ est une suite arithmético-géométrique s'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que $u_{n+1}=a u_n+b$ pour tout entier $n$. En général, on demande $a\neq 1$ et $b\neq 0$ pour ne pas avoir une suite arithmétique ou une suite géométrique.

  On cherche alors $\ell$ la solution de l'équation $$\ell=a\ell+b,$$ puis on étudie la suite $(v_n)$ définie par $$v_n=u_n-\ell.$$ On prouve facilement que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $a$. On étudie alors $(v_n)$ pour obtenir le comportement de $(u_n)$.