$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formulaire - Branches infinies

Asymptotes verticales
  Si , alors la droite d'équation x=a est asymptote à la courbe représentative de f.
Exemple : Si f(x)=1/(x-1), la droite d'équation x=1 est asymptote à Cf.
Asymptotes obliques, et branches paraboliques
  On étudie :
  • Cette limite n'existe pas. On ne peut rien dire...
  • Cette limite existe (et est éventuellement infinie). On note a cette limite. On étudie alors .
    • Cette limite existe, et est finie, on la note b. Alors la droite d'équation y=ax+b est asymptote à la courbe représentative de f.
    • Cette limite n'existe pas. On est dans le cas où on a une direction asymptotique (on dit encore branche parabolique). Si
      • a est infini : la courbe représentative de f admet une branche parabolique de direction l'axe (Oy).
      • a est fini : la courbe représentative de f admet une branche parabolique de direction la droite d'équation y=ax. C'est le cas par exemple de f(x)=x/2+ln(x).
Cas particulier : quotient de polynômes
  Si f(x)=P(x)/Q(x), où P et Q sont deux polynômes,avec deg(P)=deg(Q)+1, alors Cf admet une même asymptote y=ax+b en plus et moins l'infini. Pour l'obtenir, il suffit de faire la division de P par Q, pour écrire P(x)=Q(x)(ax+b)+R(x) avec deg(R)<deg(Q).