$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formulaire - Branches infinies

Asymptotes verticales

Si $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$, alors la droite d'équation $x=a$ est asymptote à la courbe représentative de $f$.

Exemple : Si $f(x)=1/(x-1)$, la droite d'équation $x=1$ est asymptote à $C_f$.

Asymptotes obliques, et branches paraboliques

On étudie $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x$ :

  • Cette limite n'existe pas. On ne peut rien dire...
  • Cette limite existe (et est éventuellement infinie). On note $a$ cette limite. On sépare alors plusieurs cas :
    • $a$ est infini : la courbe représentative de f admet une branche parabolique de direction l'axe $(Oy)$.
    • $a$ est fini. On étudie alors $\lim_{x\to+\infty}f(x)-ax$.
      • Cette limite existe, et est finie, on la note $b$. Alors la droite d'équation $y=ax+b$ est asymptote à la courbe représentative de $f$.
      • Cette limite n'existe pas. Dans ce cas, la courbe représentative de $f$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y=ax$. C'est le cas par exemple de $f(x)=x/2+\ln(x)$.
Cas particulier : quotient de polynômes

Si $f(x)=P(x)/Q(x)$, où $P$ et $Q$ sont deux polynômes,avec $\deg(P)=\deg(Q)+1$, alors $C_f$ admet une asymptote $y=ax+b$ en plus et moins l'infini. Pour l'obtenir, il suffit de faire la division de $P$ par $Q$, pour écrire $P(x)=Q(x)(ax+b)+R(x)$ avec $\deg(R)<\deg(Q)$.