$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formulaire de géométrie analytique dans l'espace

Calcul de distances
  • Distance de $M$ à un plan donné par un point $A$ et deux vecteurs : $$d=\frac{|\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|}{\|\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\|}.$$
  • Distance de $M$ à un plan donné par trois points $A$, $B$, $C$ : $$d=\frac{|\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM},\overrightarrow{CM})|}{\|\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\|}.$$
  • Distance de $M(x_0,y_0,z_0)$ à un plan donné par une équation $ax+by+cz+d=0$ : $$d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$
  • Distance de $M$ à une droite donnée par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec u$ : $$d=\frac{\|\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{AM}\|}{\|\overrightarrow{u}\|}.$$
  • Distance de deux droites $D_1$ et $D_2$ - méthode 1 : On cherche un point $A$ de $D_1$, puis un vecteur directeur $\vec u$ de $D_1$. On cherche ensuite un point $B$ de $D_2$ et un vecteur directeur $\vec v$ de $D_2$. La distance recherchée est $$d=\frac{|\det(\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v)|}{\|\vec u\wedge\vec v\|}.$$
  • Distance de deux droites $D_1$ et $D_2$ non parallèles - méthode 2 : on commence par rechercher la perpendiculaire commune $D$ à $D_1$ et $D_2$. Soit $A$ le point d'intersection de $D$ et $D_1$ et soit $B$ le point d'intersection de $D$ et $D_2$. Alors la distance recherchée est $AB$.
Comment déterminer une perpendiculaire commune?

Soient $D_1$ et $D_2$ deux droites de l'espace non parallèles. On détermine dans l'ordre :

  • $\vec u$ et $\vec v$ des vecteurs directeurs respectifs de $D_1$ et $D_2$;
  • $\vec n=\vec u\wedge\vec v$;
  • $P_1$ le plan contenant $D_1$ et dont $\vec n$ est vecteur directeur;
  • $B$ l'intersection de $P_1$ avec la droite $D_2$.
Alors la perpendiculaire commune à $D_1$ et $D_2$ est la droite passant par $B$ et de vecteur directeur $\vec n$.