$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formulaire de géométrie analytique dans l'espace

Calcul de distances
  • Distance de M à un plan donné par un point A et deux vecteurs :
  • Distance de M à un plan donné par trois points A,B,C :
  • Distance de M(x0,y0,z0) à un plan donné par une équation ax+by+cz+d=0 :
  • Distance de M à une droite donnée par un point A et un vecteur directeur :
  • Distance de deux droites (D1) et (D2) - méthode 1 : On cherche un point $A$ de $(D1)$, puis un vecteur directeur $\vec u$ de $(D1)$. On cherche ensuite un point $B$ de $(D2)$ et un vecteur directeur $\vec v$ de $(D2)$. La distance recherchée est $$d=\frac{|\det(\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v)|}{\|\vec u\wedge\vec v\|}.$$
  • Distance de deux droites (D1) et (D2) non parallèles - méthode 2 : on commence par rechercher la perpendiculaire commune (D) à (D1) et (D2). Soit A le point d'intersection de (D) et (D1) et soit B le point d'intersection de (D) et (D2). Alors la distance recherchée est AB.
Comment déterminer une perpendiculaire commune?
  Soient D1 et D2 deux droites de l'espace non parallèles. On détermine dans l'ordre :
  • des vecteurs directeurs respectifs de D1 et D2;
  • ;
  • P1 le plan contenant D1 et dont est vecteur directeur;
  • B l'intersection de P1 avec la droite D2.
Alors la perpendiculaire commune à (D1) et (D2) et la droite donnée passant par B et de vecteur directeur .