Formulaire de Mathématiques : Fonctions gamma et bêta
Pour $z$ un complexe de partie réelle strictement positive, on définit la fonction gamma par $$\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt.$$ La fonction $\Gamma$ est analytique sur $\{z\in\mathbb C:\ \Re e(z)>0\}.$ Sa dérivée $n$-ième, pour $n\in\mathbb N,$ est donnée pour tout $z\in\mathbb C$ avec $\Re e(z)>0$ par $$\Gamma^{(n)}(z)=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{z-1}(\ln t)^ndt.$$ De plus, les fonctions $\Gamma$ et $\ln(\Gamma)$ sont convexes sur $]0,+\infty[.$
Pour tout $z\in\mathbb C$ avec $\Re e(z)>0,$ $$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).$$ En particulier, si $n\in\mathbb N,$ $$\Gamma(n+1)=n!$$ On a aussi : $$\Gamma(1/2)=\sqrt \pi$$ ce qui entraîne $$\Gamma\left(n+\frac 12\right)=\frac{(2n-1)(2n-3)\cdots 5\cdot 3}{2^n}\sqrt{\pi}.$$ De plus on a $$\lim_{z\to 0}\Gamma(z)=+\infty\textrm{ et }\lim_{x\to+\infty}\Gamma(x)=+\infty.$$
On appelle fonction bêta la fonction $$B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt,\ \Re e(x)>0,\ \Re e(y)>0.$$ Elle vérifie, pour $x,y\in\mathbb C$ avec $\Re e(x)>0$ et $\Re e(y)>0,$ $$B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.$$ En particulier, elle est symétrique en les deux variables : $$B(x,y)=B(y,x).$$ La fonction bêta peut aussi être définie par : $$B(x,y)=2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}(\theta)\cos^{2y-1}(\theta)d\theta.$$
- Prolongement méromorphe : on peut prolonger $\Gamma$ en une fonction méromorphe sur $\mathbb C$ en l'écrivant $$\Gamma(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!(z+n)}+\int_1^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}.$$ Ainsi prolongée, la fonction $\Gamma$ admet un pôle simple en chaque entier négatif $-n,$ avec $n\in\mathbb N,$ le résidu en ce pôle valant $\frac{(-1)^n}{n!}.$
- Formule des compléments : Si $z\in\mathbb C\backslash \mathbb Z,$ $$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}.$$
- Formule d'Euler : si $z\in\mathbb C\backslash\mathbb Z_-,$ $$\Gamma(z)=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n-1)!n^z}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}.$$
- Produit infini de Weierstrass : si $z\in\mathbb C\backslash\mathbb Z_-,$ $$\frac1{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\frac zn\right)e^{-z/n}.$$ où $\gamma=-\int_0^{+\infty}e^{-t}\ln(t)dt\simeq 0,\!5772157\dots$ est la constante d'Euler.
- Formule de duplication : si $z\in\mathbb C\backslash\mathbb Z_-,$ $$2^{2z-1}\Gamma(z)\Gamma(z+1/2)=\sqrt{\pi}\Gamma(2z).$$
- Développement asymptotique : $$\Gamma(z)=\sqrt{2\pi}z^{z-\frac 12}e^{-z}\left(1+\frac1{12z}+\frac{1}{288z^2}-\frac{139}{51840z^3}+o\left(\frac 1{z^3}\right)\right).$$ En particulier, ceci redonne la formule de Stirling : $$n!\sim_{+\infty}\sqrt{2\pi n}n^n e^{-n}.$$