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Formulaire de Mathématiques : Transformée de Fourier



Définition : Soit f une fonction de L1(R). On appelle transformée de Fourier de f, qu'on note , la fonction définie sur R par :
Tous les mathématiciens et physiciens ne s'accordent pas sur la définition de la transformée de Fourier, la normalisation peut changer. On rencontre par exemple souvent la définition :
Des facteurs pourront changer dans les propriétés qu'on donne ci-après.
Propriétés
  Soient f et g deux fonctions de L1(R). On a le tableau suivant :

En outre, pour tout f de L1(R), on prouve que , et que tend vers 0 en l'infini. En outre, si f est Ck, il existe une constante A telle que :
On dit que la transformée de Fourier échange la régularité et la décroissance en l'infini.
Transformées de Fourier classiques
Inversion de la transformée de Fourier
  Sous certaines conditions, il est possible d'inverser la transformée de Fourier, c'est-à-dire de retrouver f en connaissant .
Théorème : Si f et sont tous deux dans L1(R), on pose :
Alors g est une fonction continue sur R, et g=f presque partout.
On en déduit que deux fonctions intégrables qui ont même transformée de Fourier sont égales presque partout.