$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire de Mathématiques : combinaisons


Définition et calcul
Définition : E étant un ensemble à n éléments, on appelle combinaison de p éléments de E toute collection non ordonnée de p éléments distincts de E, ie toute partie de E à p éléments.
On note $\binom n p$ le nombre de combinaison de p éléments parmi n. On a : $$\binom np=\frac{n!}{p!(n-p)!}=\frac{n(n-1)\dots(n-p+1)}{p(p-1)\dots 1}.$$ Ex : Tirage par poignées.
  Une urne contient n boules numérotée de 1 à n. On tire simultanément p boules de U. Le nombre de tirages possibles vaut le nombre de combinaisons de p éléments parmi n.

Propriétés
  1. Symétrie : $\binom np=\binom n{n-p}$, valable pour $0\leq p\leq n$.
  2. $\binom n0=\binom nn=1$, valable pour tout $n\geq 0$.
  3. $\binom n1=\binom n{n-1}=n$, valable pour tout $n\geq 1$.
  4. Formule de Pascal : $$\binom np=\binom {n-1}p+\binom {n-1}{p-1}.$$ Les 4 propriétés précédentes permettent de calculer de proche en proche tous les coefficients binomiaux.
  5. Formule du binôme : $$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk x^ky^{n-k}.$$
  6. Formule de Vandermonde : $$\sum_{k=0}^n \binom ka\binom {n-k}b=\binom n {a+b}.$$