$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire de Mathématiques : Approximation de lois

  Le but de cette page est de lister des règles communément utilisées pour approcher des lois de variables aléatoires par d'autres lois plus simples à calculer.
Approximation de la loi binomiale par la loi normale
  On considère qu'une très bonne approximation de la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ est la loi normale $\mathcal N(np,\sqrt{np(1-p)})$ lorsque $$n\geq 30,\ np\geq 5\textrm{ et }n(1-p)\geq 5$$ (autrement dit, $n$ doit être assez grand, et $p$ ne pas être trop proche de 0 ou 1).
Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson
  On considère qu'une très bonne approximation de la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ est la loi de Poisson $\mathcal P(np)$ lorsque
  • $n\geq 20$ et $p\leq 0,05$;
  • $n\geq 100$ et $np\leq 10$.
Autrement dit, la loi de Poisson est une bonne approximation pour les petites valeurs de $p$. En cela, l'approximation par la loi de Poisson complète bien l'approximation par la loi normale.
Approximation de la loi hypergéométrique
  La loi hypergéométrique (loi d'une variable aléatoire lors d'un tirage sans remise) peut être approchée par la loi binomiale lorsque le nombre d'individus de la population est très grand devant le nombre d'individus étudiés. On peut alors également approcher la loi binomiale par une des deux lois précédentes.

  On note $\mathcal H(N,n,m)$ la loi hypergéométrique correspondant au nombre de succès dans un tirage de $n$ individus dans une population de $N$, le nombre d'individus de cette population amenant au succès étant $m$. Alors :
  • $\mathcal H(N,n,m)$ peut être approché par $\mathcal B(n,m/N)$ dès que $n\leq 0,1 M$.
  • $\mathcal H(N,n,m)$ peut être approché par $\mathcal P(nm/N)$ dès que $n\leq 0,1 M$, $n\geq 20$ et $\frac mN\leq 0,05$.
  • $\mathcal H(N,n,m)$ peut être approché par $\mathcal N\left(\frac{nm}N,\sqrt{\frac{nm(N-m)}{N^2}}\right)$ dès que $n\leq 0,1M$, $n\geq 30$, $n\geq 9\frac{N-m}m$ et $n\geq 9\frac m{N-m}$.