Formulaire de Mathématiques : Analyse vectorielle

$V$ désigne un champ scalaire, c'est-à-dire une fonction de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R$, et $A$ désigne un champ de vecteurs, c'est-à-dire une fonction de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^3$. $\nabla$ est le vecteur symbolique $$\nabla=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}\end{array}\right).$$

Opérateurs différentiels en coordonnées cartésiennes

La base est $(\overrightarrow{u_x},\overrightarrow{u_y},\overrightarrow{u_z})$ (elle ne dépend pas du point choisi), $A=A_x \overrightarrow{u_x}+A_y \overrightarrow{u_y}+A_z\overrightarrow{u_z}$.

gradient : $\overrightarrow{\textrm{grad}}V=\nabla V=\frac{\partial V}{\partial x}\overrightarrow{u_x}+\frac{\partial V}{\partial y}\overrightarrow{u_y}+\frac{\partial V}{\partial z}\overrightarrow{u_z}$.
divergence : $\textrm{div}(A)=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$.
rotationnel : \begin{eqnarray*} \overrightarrow{\textrm{rot}}(A)&=&\nabla\wedge A\\ &=&\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\overrightarrow{u_x}+\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\overrightarrow{u_y}+\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\overrightarrow{u_z}. \end{eqnarray*}
laplacien : $\Delta V=\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$.

Opérateurs différentiels en coordonnées cylindriques

La base est $(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_\theta},(\overrightarrow{e_z})$ (les deux premiers vecteurs dépendent du point), et $A=A_r\overrightarrow{e_r}+A_\theta \overrightarrow{e_\theta}+A_z \overrightarrow{e_z}$.

gradient : $\overrightarrow{\textrm{grad}}V=\frac{\partial V}{\partial r}\overrightarrow{e_r}+\frac 1r\frac{\partial V}{\partial \theta}\overrightarrow{e_\theta}+\frac{\partial V}{\partial z}\overrightarrow{e_z}$.
divergence : $\textrm{div}(A)=\frac 1r\frac{\partial(r A_r)}{\partial r}+\frac{1}r\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$.
rotationnel : \begin{eqnarray*} \overrightarrow{\textrm{rot}}(A)&=\left(\frac 1r\frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\right)\overrightarrow{e_r}+\left(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\overrightarrow{e_\theta}+\frac 1r\left(\frac{\partial (rA_\theta)}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right)\overrightarrow{e_z}. \end{eqnarray*}
laplacien : \begin{eqnarray*} \Delta V&=&\frac 1r\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial V}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 V}{\partial \theta^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}\\ &=&\frac{\partial^2 V}{\partial r^2}+\frac 1r\frac{\partial V}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 V}{\partial \theta^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}. \end{eqnarray*}

Opérateurs différentiels en coordonnées sphériques

La base est $(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_\theta},(\overrightarrow{e_\phi})$ (les vecteurs dépendent du point), et $A=A_r\overrightarrow{e_r}+A_\theta \overrightarrow{e_\theta}+A_\phi \overrightarrow{e_\phi}$.

gradient : $\overrightarrow{\textrm{grad}}V=\frac{\partial V}{\partial r}\overrightarrow{e_r}+\frac 1r\frac{\partial V}{\partial \theta}\overrightarrow{e_\theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial \phi}\overrightarrow{e_\phi}$.
divergence : $\textrm{div}(A)=\frac 1{r^2}\frac{\partial(r^2 A_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial (A_\theta\sin\theta)}{\partial \theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}$.
rotationnel : \begin{eqnarray*} \overrightarrow{\textrm{rot}}(A)&=& {\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta A_{\phi })-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \phi }}\right){\overrightarrow {e_{r}}}+\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{\phi })\right){\overrightarrow {e_{\theta }}}\\ &&\quad+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{\theta })-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right){\overrightarrow {e_{\phi }}} \end{eqnarray*}
laplacien : \begin{eqnarray*} \Delta V&=&{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}. \end{eqnarray*}

Composition des opérateurs différentiels

$$\overrightarrow{\textrm{rot}}(\overrightarrow{\textrm{grad}}(V)=\vec 0$$ $$\textrm{div}(\overrightarrow{\textrm{rot}}(A))=0$$ $$\textrm{div}(\overrightarrow{\textrm{grad}}(V))=0$$ $$\overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{\textrm{rot}} A=\overrightarrow{\textrm{grad}}(\textrm{div}A)-\Delta A$$ $${\displaystyle \mathrm {div} \ {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\ M=\Delta M}$$

Formules de Leibniz pour les produits

$$\overrightarrow{\textrm{grad}}(V_1V_2)=V_1 \overrightarrow{\textrm{grad}}(V_2)+V_2\overrightarrow{\textrm{grad}}(V_1)$$ $$\overrightarrow{\textrm{rot}} (VA)=V\overrightarrow{\textrm{rot}}(A)+\overrightarrow{\textrm{grad} }V\wedge A$$ $$\textrm{div}(VA)=V\textrm{div}(A)+\overrightarrow{\textrm{grad}} V\cdot A$$ $$\textrm{div}(A_1\wedge A_2)=A_2\cdot\overrightarrow{\textrm{rot}}(A_1) -A_1\cdot \overrightarrow{\textrm{rot}}(A_2)$$ $${\displaystyle \Delta (U\cdot V)=U\Delta V+2\ {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\ U\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\ V+V\Delta U}$$ $${\displaystyle \mathrm {div} (U{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\ V-V{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\ U)=U\Delta V-V\Delta U}$$

Intégration

Théorème d'Ostrogradsky-Green Le flux d'un champ de vecteurs à travers une surface fermée est égal à l'intégrale triple de sa divergence sur le volume intérieur de cette surface. Autrement dit, si $V$ est un volume de l'espace délimité par sa surface fermée $S$, et si $\vec A$ est un champ de vecteurs, alors $$ {\displaystyle \int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left(\mathrm {div} \,{\overrightarrow {A}}\right)\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {A}}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {S}}}.$$

Théorème de Stokes La circulation d'un champ de vecteurs le long d'un contour fermé est égale au flux de son rotationnel à travers une surface quelconque s'appuyant sur ce contour. Autrement dit, si $S$ est une surface fermée de contour $C$, si $\vec A$ est un champ de vecteurs, alors $${\displaystyle \oint _{C}{\overrightarrow {A}}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {l}}=\int \!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\,{\overrightarrow {A}}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {S}}}.$$