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Formulaire - Equations différentielles particulières



  On donne ici juste des méthodes, qu'il faudra rendre rigoureuses au cas par cas.

Variables séparables :
  Une équation différentielle est à variables séparables si f peut se mettre sous la forme :
L'équation différentielle devient : . Si A et B sont des primitives respectives de a et b, une solution y vérifie :
Si on arrive à inverser B, on pourra obtenir y.

Equation de Bernoulli :
  Il s'agit des équations différentielles du type :
On cherche les solutions qui ne s'annulent pas :
On pose : On obtient :
On obtient une équation linéaire d'ordre 1 en z, que l'on sait résoudre.

Exemple : Soit à résoudre . On pose On obtient donc :
Ce qui donne au final :
Equation de Ricatti :
  Il s'agit des équations différentielles du type :
Si on connait une solution particulière y0, alors on sait résoudre cette équation différentielle. On pose : , et en remplaçant :
On obtient une équation de Bernoulli, que l'on sait résoudre.

Equation de Lagrange :
  Il s'agit des équations différentielles du type :
On cherche les solutions affines , avec a(m)=m. On cherche à paramétrer le graphe avec p=y', en supposant y C2, et y'' qui ne s'annule pas. On a alors :
On dérive par rapport à p :
On obtient une équation linéaire du premier ordre, que l'on sait résoudre, et l'on trouve . On connait alors y(p) grâce à l'équation initiale. Un paramétrage du graphe des solutions C2 est donc donné par : .

Equation de Clairaut :
  Il s'agit des équations différentielles du type :
Il s'agit d'un cas particulier de l'équation de Lagrange, que l'on résoud de la même façon.

Exemple : Résoudre y=ty'-y2/4. On utilise le paramètre p=y'. L'équation s'écrit alors : y=tp-p2/4, donc dy=pdt+tdp-pdp/2, c'est-à-dire (t-p/2)dp=0.
  • Lorsque dp=0, on trouve les solutions affines, qui sont de la forme mt-m2/4.
  • Lorsque t-p/2=0, on trouve la solution t2.


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