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Formulaire - Variation de la constante



  Il s'agit d'une méthode pour déterminer les solutions d'une équation différentielle avec second membre, connaissant les solutions de l'équation homogène (sans second membre).

Premier ordre :
  Si y0 est une solution de l'équation homogène, on cherche une solution particulière sous la forme y(t)=z(t)y0(t).

Exemple : Soit à résoudre :
  1. On résout l'équation homogène , dont la solution générale est donnée par .
  2. On cherche une solution particulière sous la forme , d'où :
    On en déduit que , et donc .


Second ordre :
  On considère une équation :
Si (y1,y2) est una base de solutions de l'équation sans second membre, on cherche une solution y sous la forme :
En particulier, l'expression de y' entraîne que :
L'introduction des valeurs de y et y' dans l'équation différentielle donne une deuxième équation en , ce qui donne avec la précédente un système différentiel linéaire d'ordre 2 en , que l'on résout.

Exemple : Soit à résoudre :
Une base de l'équation sans second membre est donnée par :
On cherche donc une solution y vérifiant :
Remarquons que l'on a :
D'où, en introduisant dans l'équation :
Ce système est équivalent à :
soit :
En particulier, est une solution particulière, et les solutions sont de la forme :


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