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Formulaire - Equations différentielles à coefficients constants



Premier ordre :
  L'équation sans second membre est :
  • Si a=0, les solutions sont .
  • Si a est non nul, les solutions sont
Pour rechercher les solutions avec second membre, on applique les mêmes méthodes que pour le second ordre (voir après).


Second ordre, sans second membre :
  L'équation sans second membre est :
  • Si l'équation caractéristique ar2+br+c=0 a deux racines réelles r1 et r2, les solutions de (E0) sont les fonctions de la forme :
  • Si l'équation caractéristique ar2+br+c=0 a une racine double r0 (nécessairement réelle), les solutions de (E0) sont les fonctions de la forme :
  • Si l'équation caractéristique ar2+br+c=0 a deux racines complexess conjuguées , les solutions de (E0) sont les fonctions de la forme :
Dans le cas où on résout l'équation sur C, c'est plus facile car on a que le premier ou le deuxième cas!

Second ordre, avec second membre :
  On cherche à résoudre l'équation :
Une solution est somme d'une solution générale et d'une équation particulière. Il suffit de rechercher une solution particulière. On l'obtient parfois en pensant au phénomène physique amenant à l'équation différentielle (par exemple, l'état du système en régime stationnaire,etc...).
  • Si d est un polynôme de degré n, on cherche une solution particulière sous la forme d'un polynôme :
    • de degré n, si c est non nul.
    • de degré n+1, si c est nul, b est non nul.
    • de degré n+2, si c est nul et b est nul.
  • Si , m complexe, P polynôme de degré n, on cherche une solution particulière sous la forme , où Q est un polynôme :
    • de degré n si m n'est pas racine de l'équation caractéristique ar2+br+c=0.
    • de degré n+1 si m est racine simple de l'équation caractéristique ar2+br+c=0.
    • de degré n+2 si m est racine double de l'équation caractéristique ar2+br+c=0.
  • Si , on se ramène au cas précédent, en utilisant par exemple que :
Ordre plus grand :
On cherche à résoudre :
Le polynôme caractéristique associé est :
Si le polynôme caractéristique se factorise (sur C) sous la forme :
avec . Alors la famille
avec j dans {1,...,r}, a dans {0,...,lj-1}, k dans {1,...,s} et b dans {0,...,mk-1} est un système fondamental de solutions de (E0). Dans le cas où il existe un second membre, les méthodes sont là aussi les mêmes que pour l'ordre 2.


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