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Formulaire - Calcul des dérivées



Dérivée d'une somme et du produit par une constante :
Si $ f$ et $ g$ sont des fonctions dérivables en $ x_0$, alors les fonctions $ f+g$ et $ \lambda f$ sont dérivables en $ x_0$, et :

$\displaystyle (f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)\quad\quad\textrm{et}\quad\quad(\lambda f)'(x_0)=\lambda f'(x_0).$

Dérivée d'un produit :
Si $ f$ et $ g$ sont des fonctions dérivables en $ x_0$, alors la fonction $ fg$ est dérivable en $ x_0$ et

$\displaystyle (fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0).$

Dérivée de l'inverse :
Soit $ f$ une fonction dérivable en $ x_0$. Si $ f(x_0)\neq 0$, alors la fonction $ 1/f$ est dérivable en $ x_0$, et :

$\displaystyle \left(\frac{1}{f}\right)'(x_0)=\frac{-f'(x_0)}{\big(f(x_0)\big)^2}.$

Dérivée d'un quotient :
Si $ f$ et $ g$ sont des fonctions dérivables en $ x_0$, avec $ g(x_0)\neq 0$, alors la fonction $ f/g$ est dérivable en $ x_0$ et

$\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{\big(g(x_0)\big)^2}.$

Dérivée d'une composée :
Soient $ f$ et $ g$ des fonctions telles que la composée $ g\circ f$ est définie. Si $ f$ est dérivable en $ x_0$, et si $ g$ est dérivable en $ f(x_0)$, alors $ g\circ f$ est dérivable en $ x_0$ et :

$\displaystyle (g\circ f)'(x_0)=f'(x_0)g'(f(x_0)).$

Dérivée d'une fonction réciproque :
Soient $ I$ un intervalle ouvert, et $ f$ une fonction dérivable et strictement monotone sur $ I$. Posons $ J=f(I)$, et notons $ g:J\to I$ la bijection réciproque de l'application bijective de $ I$ dans $ J$ définie par $ f$. Si l'on a $ f'(t)\neq 0$ quel que soit $ t$ dans I, alors $ g$ est dérivable sur $ J$, et l'on a :

$\displaystyle g'(t)=\frac{1}{f'(g(t))}.$

Formule de Leibniz :
Si $ f$ et $ g$ sont des fonctions $ n$ fois dérivables, alors la fonction $ fg$ est $ n$ fois dérivable, et :

$\displaystyle (fg)^{(n)}=f^{(n)}g+C_n^1f^{(n-1)}g'+C_n^2 f^{(n-2)}g''+\dots+C_n^if^{(n-i)}g^{(i)}+\dots+fg^{(n)},$

où les nombres $ C_n^i$ sont les coefficients binomiaux.


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