03/02 - Les nuits de l'incertitude
02/02 - Un texte, un mathématicien
31/01 - Des mathématiques et des nombres
31/01 - Le postulat, le théorème et le photographe
24/01 - Art et mathématiques
21/01 - Prix Crafoord 2012
17/01 - La revanche de Pythagore
16/01 - Forum Emploi des Mathématiques
16/01 - Les chiffres des médias
Le plan complexe
Soit P le plan muni d'un repère orthonormé direct. L'application qui à z=x+iy associe le point M de
coordonnées (x;y) est une bijection de C sur P. On dit que M est le point image
de z, ou encore que z est l'affixe de M. Le plan P est alors appelé le plan complexe.
Propriétés liées au module, à l'argument, au conjugué
- Si M est le point d'affixe z, alors la longueur OM vaut le module de z.
- Plus généralement, si A est d'affixe a, B d'affixe B, la longueur AB vaut |a-b|.
- Si M est d'affixe z, alors on a :
- Plus généralement, si A,B,C et D sont d'affixes respectives a,b,c et d, alors :
- Si M est le point d'affixe z, alors :
- le point d'affixe
est le symétrique de M par rapport à l'axe (Ox).
- le point d'affixe -z est le symétrique de M par rapport à l'origine.
- le point d'affixe - est le symétrique de M par rapport à l'axe (Oy).
- le point d'affixe
Configurations géométriques
- Condition d'alignement : A(a), B(b) et C(c) sont alignés ssi
est réel.
- Condition d'orthogonalité : les droites (AB) et (AC) sont orthogonales si et seulement si est imaginaire pur.
- Condition de cocyclicité : A(a), B(b), C(c) et D(d) sont alignés ou cocycliques si et seulement si :
- Triangle équilatéral : Les points A(a), B(b) et C(c) forment un triangle équilatéral direct si, et seulement si : a+jb+j2c=0.
- Barycentre : Si G est le barycentre des points Mk d'affixe zk, affectés des coefficients xk, alors l'affixe de G est :
Similitudes directes
Théorème et définition : Soient a et b deux nombres complexes, a non nul.
Soit f la transformation du plan complexe qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe az+b. Alors :
- Si a=1, f est la translation dont le vecteur est le vecteur d'affixe b.
- Si a est différent de 1, f possède un unique point invariant I, d'affixe b/(b-a). f est alors la composée de la rotation r de centre I, et d'angle arg(a) et de l'homothétie de centre I et de rapport |a|.
f s'appelle la similitude directe de centre I, de rapport |a|, et d'angle arg(a).
