Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées, qui sont opposées! On dispose de deux méthodes pour résoudre l'équation z²=w :

• Écrire w=a+ib, z=x+iy, et procéder par identification des coefficients. Utiliser le module permet d'apporter une équation supplémentaire qui simplifie beaucoup les calculs. On connait alors en effet la somme x²+y² et la différence x²-y². Il est alors aisé d'en déduire les valeurs de x² et y²!
• Utiliser la forme trigonométrique de w, si elle est facilement accessible. On raisonne alors comme pour les racines n-ièmes (voir ci-dessous).

Exemple :On souhaite résoudre z²=2+i. On pose z=x+iy. Nous avons : La condition 2xy=1 nous permet d'affirmer que x et y sont de même signe (soit tous deux positifs, soit tous deux négatifs). Finalement, l'ensemble des solutions est :   Soit (E) l'équation az²+bz+c=0, d'inconnue z, où a,b,c sont des complexes, et a est non nul. Le discriminant de cette équation est :

• Si le discriminant est nul, alors l'équation (E) admet une racine double : z=-b/2a.
• Si le discriminant est non nul soit l'une des racines carrées (complexe) de ce discriminant. Alors (E) admet deux racines complexes :

Remarque : Ainsi, tout polynôme du second degré à coefficients complexes admet une racine dans l'ensemble des nombres complexes. Plus généralement, le théorème de d'Alembert-Gauss dit que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet une racine dans C.   Si w est un nombre complexe non nul, et n un entier naturel non nul, on appelle racine n-ième de w tout nombre complexe tel que zⁿ=w.
Tout nombre complexe non nul admet exactement n racines n-ièmes. La méthode de recherche est la suivante :
  On appelle racine n-ième de l'unité les racines n-ièmes dans C du nombre complexe 1. Elles sont données par : L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité est un groupe cyclique d'ordre n du groupe (C^*,×). La racine w_k engendre ce groupe si et seulement si les entiers k et n sont premiers entre eux.

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