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Formulaire - Module et argument d'un nombre complexe

Module d'un complexe
  On appelle module du nombre complexe z=a+ib le réel positif . Le module vérifie les propriétés suivantes :
  • |z|×z'|=|z|×|z'|.
  • |z+z'||z|+|z'| (inégalité triangulaire).
  • |z|=0 si et seulement si z=0.
  • Si z est réel, son module vaut sa valeur absolue.

Argument d'un nombre complexe
Théorème : Si z est un nombre complexe non nul, alors il existe un réel tel que :
z=|z|cos()+isin().
De plus, est unique à 2pi près.
Tout nombre qui convient s'appelle un argument de z, noté arg(z).
Exemple : Déterminons un argument de 1+i :
L'argument vérifie les propriétés suivantes :

Exponentielle complexe
  Pour réel, on définit l'exponentielle complexe par :
Si z est un nombre complexe, et l'un de ses arguments, alors :
Cette écriture s'appelle forme trigonométrique de z. En application des différentes formules sur le module et l'argument, on a :
  La forme trigonométrique des complexes est donc parfaitement adaptée quand il s'agit de traiter des exercices où interviennent de façon cruciale des produits.


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