Lorsqu'on a des données d'un même type, on est souvent amené à calculer leur moyenne. Mais contrairement à ce que l'on pense parfois, il n'existe pas qu'un seul type de moyenne. Les mathématiques nous fournissent 3 types de moyenne que l'on rencontre dans la vie courante :

  • La moyenne arithmétique : c'est la moyenne usuelle! La moyenne arithmétique de $x_1,\dots,x_n$ est la somme de ces termes divisée par leur nombre : $$M_{\textrm{arithm}}=\frac{x_1+\cdot+x_n}n.$$
  • La moyenne géométrique : la moyenne géométrique de $x_1,\dots,x_n$ est la racine $n$-ème du produit des $x_i$ : $$M_{\textrm{geo}}=\sqrt[n]{x_1\times\cdots\times x_n}.$$ Voici un exemple d'application de cette moyenne : on suppose qu'à l'issue d'une manifestation, la police annonce $10000$ manifestants, et les organisateurs $100000.$ Quel est le nombre de manifestants?? La première idée est de prendre la moyenne arithmétique : on trouverait alors $55000$ personnes. Mais ceci surestime l'importance du nombre donné par les organisateurs par rapport au nombre de la police. Si cette dernière annonçait $1000$ manifestants, on trouverait $50500,$ ce qui ne change pas grand chose....
    Une meilleure idée est de se dire que les organisateurs et la police trichent de la même façon : si les organisateurs annoncent 2 fois plus de manifestants, la police en annonce 2 fois moins, etc... Si on note $x$ le nombre réel de manifestants et $k$ le coefficent multiplicateur, la police annonce $x/k$ manifestants, et les organisateurs $kx.$ Prenons la moyenne géométrique du nombre annoncé par les organisateurs et par la police : on trouve exacement $x.$ Une meilleure approximation que la moyenne arithmétique semble donc être pour notre problème la moyenne géométrique. Avec nos valeurs, on trouve environ $31600$ personnes. Ce sont les organisateurs qui ne vont pas être contents!
  • La moyenne harmonique : la moyenne harmonique de $x_1,\dots,x_n$ est l'inverse de la moyenne arithmétique de l'inverse des $x_i.$ Ainsi $$\frac{n}{M_{\textrm{harmo}}}=\frac 1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}.$$ Prenons un exemple frappant pour illustrer l'intérêt de la moyenne harmonique. Supposons que vous faites une promenade à vélo : vous commencez par escalader une côte de $1$km à $20$km/h, puis vous redescendez cette même côte à $30$km/h. Quelle est votre vitesse moyenne??? Vous avez répondu $25?$ Faux!!! Soit $v$ la vitesse moyenne, $t$ le temps total mis, on $v=2/t.$ En inversant, $2/v=t.$ Mais $t=t_1+t_2,$ où $t_1$ est le temps mis pour monter, et $t_2$ le temps mis pour descendre. On a $t_1=1/v_1,$ et $t_2=1/v_2,$ où $v_1$ (resp. $v_2$) est la vitesse pour monter (resp. pour descendre) (ceci car vitesse=distance/temps). Et donc $$\frac 2{v}=\frac1{v_1}+\frac 1{v_2}.$$ La vitesse moyenne est la moyenne harmonique des deux vitesses!

La moyenne calculée par les professeurs n'est pas tout à fait une des moyennes précédentes, puisqu'en général toutes les notes n'ont pas le même poids et sont affectées d'un certain coefficient. Si $x_1,\dots,x_n$ sont des réels et $a_1,\dots,a_n$ sont des nombres strictement positifs, on appelle moyenne pondérée des $x_i$ muni des poids $a_i$ la quantité $$M_{\textrm{pond}}=\frac{a_1 x_1+\cdots+a_n x_n}{a_1+\cdots+a_n}.$$

Il existe encore d'autres types de moyennes, pour un usage plus spécifique en mathématique ou en statistique :

  • La moyenne quadratique : elle intervient notamment dans le calcul de l'écart-type. $$M_{\textrm{quad}}=\sqrt{\frac{x_1^2+\cdots+x_n^2}n}.$$
  • La moyenne arithmético-géométrique : Si $a$ et $b$ sont deux réels strictement positifs, on peut définir deux suites récurrentes $(u_n)$ et $(v_n)$ par $u_0=a,$ $v_0=b$ et pour tout $n\geq 0,$ \begin{align*} u_{n+1}&=\frac{u_n+v_n}2\\ v_{n+1}&=\sqrt{u_nv_n}. \end{align*} Autrement dit, $u_{n+1}$ est la moyenne arithmétique de $u_n$ et $v_n$, et $v_{n+1}$ est la moyenne géométrique de $u_n$ et $v_n$. On peut prouver que ces deux suites sont adjacentes et convergent vers la même limite $\ell$, que l'on appelle la moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b.$ Cette moyenne intervient notamment dans les intégrales elliptiques. On a ainsi $$\frac 1{M(a,b)}=\frac 2\pi\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}},$$ formule découverte par C. Gauss en 1799.