Définition : Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré, soit $(Y,\mathcal B)$ un espace mesurable, et soit $f:(X,\mathcal A)\to (Y,\mathcal B)$ une application mesurable. Alors l'application $\mu_f$ définie sur les éléments de $\mathcal B$ par $$\mu_f(B)=\mu\big(f^{-1}(B)\big)$$ est une mesure sur $(Y,\mathcal B)$. On l'appelle la mesure image de $\mu$ par $f$.

Pour calculer l'intégrale d'une fonction par rapport à la mesure image, on dispose de la formule du changement de variables :

Théorème : Soit $g:(Y,\mathcal B)\to \mathbb R$ mesurable. Alors $g$ est intégrable par rapport à $\mu_f$ si et seulement si $g\circ f$ est intégrable par rapport à $\mu$. Dans ce cas, on a $$\int_Y gd\mu_f=\int_X g\circ f d\mu.$$

La notion de mesure image est au centre de la théorie des lois des variables aléatoires. En effet, si $X$ est une variable aléatoire définie sur $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$, la loi de $X$ n'est autre que la mesure image de $\mathbb P$ par $X$.