Théorème : Soit $]a,b[$ un intervalle ouvert, avec $-\infty\leq a<b\leq +\infty,$ $U$ un ouvert de $\mathbb R^n,$ et $F:]a,b[\times U\to\mathbb R^n$ une fonction continue et localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable. Soit $f: ]c,d[\to\mathbb R^n$ une solution maximale de l'équation différentielle $y'=F(t,y)$. Alors, si $d<b$ (resp. $a<c$), pour tout compact $K$ de $U$, il existe un voisinage $V$ de $d$ (resp. $c$) dans $]c,d[$ tel que $f(t)\notin K$ pour tout $t$ de $V$.

On appelle aussi parfois ce principe de majoration le théorème d'explosion en temps fini, ou théorème de sortie de tout compact. En effet, si $U=\mathbb R^n$, le théorème d'explosion en temps fini dit qu'une solution maximale $f$ définie sur un intervalle $]c,d[$ plus court que l'intervalle maximal qu'on pourrait espérer, $]a,b[,$ avec donc par exemple $d< b$, vérifie $\lim_{t\to d} \|f(t)\|=+\infty$. Ce dernier résultat s'appelle encore théorème des bouts.