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Tangente d'un angle et fonction tangente

Dans le triangle rectangle

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B.$ On appelle tangente de l'angle $\widehat{BAC}$ la quantité :

D'un nombre réel

La définition précédente ne permet que de définir la tangente d'un angle aigu. On peut définir en fait la tangente d'un nombre réel en utilisant le cercle trigonométrique.

Soit $x$ un réel. On note $M$ le point du cercle trigonométrique telle que la mesure de $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})$ soit égale à $x$ radians. Soit encore $D$ la tangente au cercle au point de coordonnées $(1,0)$ et $P$ le point d'intersection des droites $(OM)$ et $D.$ La tangente de $x$ est l'ordonnée du point $P.$ Ceci n'est bien sûr défini que si $x$ n'est pas congru à $\pi/2$ modulo $\pi$ (sinon $(OM)$ est parallèle à $D$).

Grâce à l'animation Geogebra suivante, vous pouvez faire varier l'angle $(\overrightarrow i,\overrightarrow{OM})$ et voir la courbe représentative de la fonction tangente se dessiner.

Quelques propriétés de la fonction tangente
  • la fonction $\tan:\mathbb R\backslash\left\{\frac\pi 2+k\pi:\ k\in\mathbb Z\right\}\to \mathbb R$ est continue et dérivable sur son domaine de définition. Sa dérivée vérifie pour tout $x\in\mathbb R\backslash\left\{\frac\pi 2+k\pi:\ k\in\mathbb Z\right\}$, $$(\tan )'(x)=\frac1{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x).$$
  • La fonction $\tan$ est impaire et $\pi$-périodique.
  • On a $\lim_{x\to{\frac{\pi}2}^-}\tan(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to-{\frac{\pi}2}^+}\tan(x)=-\infty.$
  • pour tout $x\in\mathbb R\backslash\left\{\frac\pi 2+k\pi:\ k\in\mathbb Z\right\},$ on a $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.$
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