Théorème de Schwarz (fonctions différentiables)
Théorème : Soit $U$ un ouvert de $\mathbb R^n$ et $f$ une fonction de $U$ dans $\mathbb R^p$ de classe
$\mathcal C^2$ sur $U$. Alors, pour tout $a$ dans $U$ et tous $i,j$ dans $\{1,..,n\}$ on a
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}(a).$$
Autrement dit, ce théorème dit que pour les fonctions suffisament régulières, l'ordre de dérivation par rapport aux variables n'a pas d'importance. Il suffit en fait que les dérivées partielles existent au voisinage d'un point $a$ et soient continues en a pour pouvoir intervertir l'ordre de dérivation.
En revanche, sans l'hypothèse de continuité au point $a$, le résultat du théorème devient faux. Par exemple, si $$f(x,y)=\frac {xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$$ alors les dérivées partielles d'ordre 2 de $f$ en $(0,0)$ existent, mais $$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=1\textrm{ et }\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)=-1.$$ Ce contre-exemple est dû à Peano.
Ce théorème a une riche histoire. C'est au début du XVIIIè siècle que le problème de l'interversion de l'ordre de dérivation
se pose. Ce sont d'abord Euler et Clairaut qui vers 1740 pensent démontrer ce résultat, mais leur démonstration respective
est entâchée d'erreurs. Presqu'un siècle plus tard, en 1823, Cauchy échoue à donner une preuve rigoureuse,
de même que dans les années qui suivent Bertrand, Serret, Bonnet, Sturm ou Lindelöf.
Il faut dire que la notation de continuité n'est pas encore bien formalisée. Il faut attendre pour cela Karl Weierstrass.
Ce n'est pas étonnant que ce soit un élève de ce dernier, Hermann Schwarz, qui donne la première démonstration rigoureuse
du théorème énoncé ci-dessus, en 1873.
Source : Biographie des grands théorèmes par Bertrand Hauchecorne.
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