Partition de l'unité
Les partitions de l'unité sont un outil efficace pour adoucir les fonctions caractéristiques, comme pour coller des fonctions définies localement en une unique fonction définie globalement. Commençons par un cas facile, mais toutefois fort utilisé. $X$ désigne un espace compact, et $\mathcal R$ un recouvrement ouvert de $X$ dont on sait bien qu'on peut extraire un sous-recouvrement fini, $U_1,\dots,U_n$. On appelle partition continue de l'unité associée à ce recouvrement la donnée de fonctions continues $f_1,\dots,f_n$ de $X$ dans $[0,1]$ vérifiant :
- Le support de $f_k$ est inclus dans $U_k$ pour tout $k=1,\dots,n$;
- Pour tout $x\in X$, $\sum_{k=1}^n f_k(x)=1$.
Il est parfois souhaitable que les fonctions soient plus régulières que simplement continues. C'est par exemple possible si $K$ est un compact de $\mathbb R^n $ : on peut exiger des fonctions $f_k$ qu'elles soient de classe $\mathcal C^\infty$.
Il est parfois utile, notamment en géométrie différentielle, d'avoir des hypothèses beaucoup plus larges. Un cadre satisfaisant est celui des espaces paracompacts. Soit donc $X$ un espace topologique paracompact, et $\mathcal R=(U_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de X. On appelle partition continue de l'unité toute famille $(f_i)_{i\in I}$ de fonctions continues de $X$ dans $[0,1]$ vérifiant :
- Au voisinage de chaque point de $X$, il n'y a qu'un nombre fini de fonctions $f_i$ non nulle. Autrement dit, $(\{x\in X:\ f_i(x)>0\})_{i\in I}$ forme un recouvrement ouvert localement fini de $X$.
- Pour tout $i\in I$, $\{x\in X:\ f_i(x)>0\}\subset U_i$.
- Pour tout $x\in X$, $\sum_{i\in I}f_i(x)=1$ (cette somme est en fait finie).