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Équation des ondes

On appelle équation des ondes l'équation aux dérivées partielles $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\Delta u,$$ où $u$ est une fonction définie sur $\mathbb R^n\times\mathbb R$, les $n$ premières coordonnées étant les coordonnées d'espace et la dernière le temps. $\Delta u$ est le laplacien de $u$ par rapport aux coordonnées d'espace, c'est-à-dire $$\Delta u=\sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_j^2}.$$ Le réel $c$ est la constante de vitesse de propagation de l'onde. Par exemple, pour le son, $c$ vaut environ $343 \textrm{m}\cdot\textrm{s}^{-1}.$

En dimension (d'espace) 1, l'équation des ondes s'appelle encore équation des cordes vibrantes. On prouve que $u$ est solution de cette équation si et seulement s'il existe deux fonctions $f$ et $g$ telles que $$u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct).$$

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