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Loi des grands nombres

  On s'est aperçu depuis longtemps que lorsqu'on lance un très grand nombre de fois un dé non pipé, la fréquence d'apparition du 5 tend vers 1/6 : c'est ce que les Anciens appelaient les lois empiriques du hasard. Le but premier des probabilités était de donner une modélisation mathématique de ces phénomènes. Les lois des grands nombres illustrent alors le succès de ce programme.

Loi faible des grands nombres
Théorème : Soit $(X_n)$ une suite de variables intégrables, indépendantes deux à deux, et identiquement distribuées. Soit m leur espérance commune. On note :
Alors la suite $(S_n)$ tend vers m en probabilités.
Ex : On lance un dé non pipé, Xn vaut 1 si le n-ième lancer amène 5, et 0 sinon. Alors Sn tend vers 1/6 en probabilités.

Loi forte des grands nombres
Théorème : Soit $(X_n)$ une suite de variables intégrables, indépendantes deux à deux, et identiquement distribuées. Soit m leur espérance commune. On note :
Alors la suite $(S_n)$ tend vers m presque sûrement.
C'est à Jacques Bernoulli que l'on doit le premier énoncé de la loi des grands nombres; il apparait dans son ouvrage Ars Conjectandi publié en 1713, huit ans après sa mort. Il avait pour cadre le jeu du pile ou face (schéma de Bernoulli). Le terme de "loi des grands nombres" est lui dû à Poisson. Ce terme juridique est à mettre en rapport avec le titre de l'ouvrage dans lequel il l'introduit, Recherches sur les probabilités des jugements, paru en 1837. De nombreux mathématiciens ont ensuite généralisé les énoncés de Bernoulli et Poisson, citons notamment Kolmogorov et Tchebychev.
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