Hypothèse du continu

Les mathématiques regorgent d'ensembles infinis. Par exemple, l'ensemble des entiers naturels, l'ensemble des nombres réels sont des ensembles infinis. Mais pour les mathématiciens, tous les infinis ne se ressemblent pas! Ainsi, pour eux, l'ensemble des nombres réels contient beaucoup plus d'éléments que l'ensemble des nombres entiers.

Précisons un peu. On dit que deux ensembles $A$ et $B$ ont même cardinal s'il existe une bijection de $A$ sur $B.$ Très facilement, on peut prouver que lorsque $A$ et $B$ sont finis, ils ont même cardinal si et seulement s'ils ont même nombre d'éléments. Concernant les ensembles infinis, en utilisant un ingénieux procédé diagonal, Cantor a prouvé en 1874 que l'ensemble des nombres réels n'a pas même cardinal que l'ensemble des nombres entiers.

Il émet à cette occasion la conjecture suivante : tout ensemble contenant l'ensemble des entiers, et contenu dans l'ensemble des nombres réels, aurait ou bien le même cardinal que l'ensemble des entiers, ou bien le même cardinal que l'ensemble des réels. C'est l'hypothèse du continu, du nom que l'on donne parfois à l'ensemble des nombres réels (le continuum). Cette conjecture fut reprise par David Hilbert comme le premier de la célèbre liste des 23 problèmes qu'il posa en 1900.

On sait désormais que l'hypothèse du continu est indécidable, c'est-à-dire qu'elle est indépendante des axiomes standards de la théorie des ensembles. Précisément, Gödel a prouvé en 1940 qu'avec les axiomes standards de la théorie des ensembles (système dit de Zermelo-Fraenkel), on ne pouvait réfuter l'hypothèse du continu. En écho, en 1963, Cohen a démontré qu'on ne pouvait pas à partir des même axiomes démontrer l'hypothèse du continu. Le même statut particulier est réservé à l'axiome du choix. Pour l'un comme pour l'autre, on peut choisir de l'adjoindre ou non à la liste des axiomes de la théorie des ensembles.