Règle de L'Hospital
La règle de l'Hospital est une méthode pour lever des formes indéterminées du type $0/0$ ou $\infty/\infty$ en utilisant la dérivée des fonctions. En cela, elle préfigure l'utilisation systématique des développements limités.
Proposition : Soit $a,b\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$ avec $a<b,$ soit $f,g:]a,b[\to\mathbb R$ deux fonctions dérivables telles que $g'$ ne s'annule pas.
Soit $\ell\in \mathbb R\cup\{\pm\infty\}.$
- Si $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ et si $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell$, alors $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell.$
- Si $\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty$ et si $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell$, alors $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell.$
Exemple : $$\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2+x-2}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{2x+1}=\frac 13.$$
Cette règle apparaît pour la première fois en 1696 dans le
traité Analyse des infiniment petits de Guillaume de L'Hospital, qui est le premier livre sur le calcul différentiel.
Elle serait en fait due à Jean Bernoulli, qui l'aurait découverte deux ans plus tôt.
N'oublions pas la blague favorite des profs de maths : "La règle de L'Hospital? À n'utiliser qu'en cas d'urgence!".
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