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Espaces de Fréchet

On appelle espace de Fréchet un espace localement convexe métrisable qui est complet pour la structure d'espace métrique induite. De nombreux espaces de fonctions sont naturellement des espaces de Fréchet, par exemple :

  • l'espace $\mathcal{C}^\infty_K$ des fonctions indéfiniment dérivables à support un compact $K$ de $\mathbb {R}^n$ est un espace de Fréchet pour la suite de semi-normes : $\mathcal{P}_m(f)=\sup_{x\in K;|\alpha|\leq m}|\partial^\alpha f(x)|.$ La complétude est une conséquence du fait que l'ensemble des fonctions continues sur un compact muni de la norme infinie est un espace de Banach, et du théorème classique de dérivation de la limite d'une suite de fonctions.
  • $ \mathcal{O}(\mathcal{U})$, l'ensemble des fonctions holomorphes sur un ouvert connexe $U$ est un espace de Fréchet, pour la suite de semi-normes suivante : soit $ (K_n)$ une suite de parties compactes de $U$ dont la réunion est $U$, alors on définit $\mathcal{P}_n(f)=\sup_{z\in K_n}|f(z)|.$
  • $ L^1_{loc}(\Omega)$, l'espace des classes de fonctions sommables sur chaque compact de $ \Omega$, est un espace de Fréchet pour la suite de semi-normes suivante : soit $ (K_n)$ une suite de parties compactes de $\Omega$ dont la réunion est $\Omega$, alors on définit $\mathcal{P}_n(f)=\int_{K_n}|f(x)|dx.$
  • Soit $\mathcal{S}(\mathbb {R}^n)$ l'espace des des fonctions $ \mathcal{C}^\infty$" dont toutes les dérivées sont à décroissance rapide (ie leur produit par un polynôme quelconque est borné). C'est un espace de Fréchet lorsqu'on le munit de la famille de semi-normes suivante : $\mathcal{P}_p(f)=\sup_{|\alpha|\leq p,\ |\beta|\leq p}\|x^\alpha\partial^\beta f(x)\|_\infty.$

La plupart des théorèmes classiques dans les espaces de Banach relevant de la notion de complétude sont encore valables dans les espaces de Fréchet. C'est le cas par exemple du théorème de Banach-Steinhaus et du théorème de l'application ouverte.

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