$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Equation logistique

  L'équation logistique est l'équation différentielle suivante :
où a et b sont deux réels positifs. Elle modélise l'évolution d'une population évoluant en milieu fermé. Le terme aN(t) signifie que la population a une tendance naturelle à l'accroissement, tandis que le terme -anN2(t) donne une limite à cette accroissement, en raison des ressources limitées de ce milieu fermé. C'est un terme de "concurrence".

  Bien que n'étant pas linéaire, cette équation se résoud facilement par un changement de fonction inconnue. En effet, si on pose P=1/N, alors P vérifie l'équation différentielle
La résolution de cette équation donne
ce qui, retraduit sur N, donne

En particulier, N est monotone et admet une limite en l'infini, égale à 1/b, et ce comportement ne dépend ni de N(0), ni de a, ni de b. Ceci est frappant, parce que si on considère l'analogue discret de l'équation logistique, à savoir la suite logistique
elle peut, suivant les valeurs de a et de b, avoir des comportements très divers, et même un comportement chaotique!
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