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Lemmes de Borel-Cantelli

Théorème : Soit un espace probabilisé, (An) une suite d'événements, et A l'événement lim sup An : autrement dit :
  • Si alors P(A)=0. Autrement dit, avec une probabilité égale à 1, au plus un nombre fini d'événements An se réalise.
  • Si les événements An sont indépendants, et si alors P(A)=1. Autrement dit, avec une probabilité égale à 1, une infinité d'événements An se réalise.
Ex : On lance une pièce. Quelle est la probabilité pour qu'une infinité de fois, on ait 2 piles successifs. Pour n1, on note Bn l'événement : "on obtient pile au 2n-ième lancer et pile au (2n+1)-ième lancer". Les évenements Bn sont indépendants, et P(Bn)=1/4. D'après le lemme de Borel-Cantelli, point 2., avec une probabilité égale à 1, une infinité de Bn sont réalisés.

Le lemme de Borel-Cantelli est un premier exemple de la loi du 0/1 de Kolmogorov. Cette loi affirme que certains événements finaux (ou limite) ne peuvent prendre la probabilité que 0 ou 1. Une autre application de ce lemme, qui se démontre à peu près comme ci-dessus, est le paradoxe du singe savant.
C'est Emile Borel qui en 1909 énonce le premier ce résultat, dans un article au sujet des fractions continues. Dans les deux cas, il suppose les événements indépendants. Quatre ans plus tard, Cantelli prouve qu'on n'a pas besoin de cette hypothèse lorsque la série est convergente.
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