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Axiome du choix - Lemme de Zorn - Théorème de maximalité de Hausdorff

L'axiome du choix est un axiome de la théorie des ensembles qui s'énonce ainsi :

Axiome du choix : Soit $X$ un ensemble non vide. Il existe une application appelée fonction de choix $c:\mathcal P(X)\backslash\{\varnothing\}\to X$ qui à toute partie non vide de $X$ associe un élément de cette partie.

L'axiome du choix est équivalent à de nombreux autres énoncés :

  1. Soient $X$ et $Y$ deux ensembles, et $f:X\to Y$ une application surjective. Alors il existe une application $g:Y\to X$ telle que $g\circ f=Id_X$.
  2. Tout ensemble non vide admet une structure de bon ordre (théorème de Zermelo). Rappelons qu'un bon ordre est une relation d'ordre pour laquelle toute partie non vide admet un plus petit élément.
  3. Tout ensemble ordonné possède une partie totalement ordonnée maximale (théorème de maximalité de Hausdorff).
  4. Tout ensemble ordonné dans lequel toute partie non vide, totalement ordonnée, est majorée, possède au moins un élément maximal (Lemme de Zorn).

Même si son énoncé peut sembler évident, l'axiome du choix est en fait quelque chose qu'on ne peut déduire de la construction de la théorie des ensembles classiques. Il est même possible de construire une théorie mathématique non contradictoire en posant un axiome contredisant l'axiome du choix.

Pourtant, l'axiome du choix a de nombreuses conséquences : existence d'un idéal maximal, existence de bases dans un espace vectoriel, théorème de Hahn-Banach, existence de la clôture algebrique d'un corps...

C'est le mathématicien allemand Ernst Zermelo qui, pour démontrer le théorème cité plus haut en 1904, a formalisé pour la première fois la nécessité de faire appel à l'axiome du choix. C'est à lui que l'on doit la terminologie. A propos du lemme de Zorn, apparu en 1935, Max Zorn, mathématicien américain d'origine allemande, dira que "ce n'est pas un lemme, et il n'est pas de moi".

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