Théorie axiomatique des ensembles
À la fin du XIXè siècle, les mathématiciens ont ressenti le besoin de fonder les mathématiques sur des bases logiques sûres. Ainsi, Peano donna vers 1889 une construction axiomatique de l'ensemble des nombres entiers, Hilbert développa en 1899 une base axiomatique de la géométrie élémentaire. Ce travail fut poursuivi par Zermelo en 1908 en développant une théorie axiomatique des ensembles. De même qu'Hilbert ne chercha pas à définir ce qu'est un point ou une droite, mais ne s'intéressa qu'aux relations entre ces objets (appartenance, parallélisme,...), Zermelo n'essaya pas de définir un ensemble, mais seulement les relations d'appartenance (est élément de), d'inclusion... et fonda sa théorie sur la série suivante d'axiomes :
- axiome de l'extensionalité : 2 ensembles sont identiques si et seulement s'ils ont les mêmes éléments.
- axiome de l'ensemble vide : Il existe un ensemble qui ne contient aucun élément : cet ensemble est appelé ensemble vide, et est noté $\varnothing.$ Puisque les ensembles sont définis par leurs éléments, il n'y a qu'un seul tel ensemble!
- axiome de la paire : Si $x$ et $y$ sont deux objets de l'univers, il existe un ensemble constitué de $x$ et de $y.$
- axiome de la réunion : Soit $(O_i)$ une famille d'ensembles, où $i$ décrit lui-même un ensemble $I$. Alors il existe un ensemble dont les éléments sont exactement tous les éléments des $O_i.$ Prenons un exemple : dans une classe, il y a des élèves, et chaque élève possède des stylos. Il existe un ensemble constitué par les stylos de tous les élèves de la classe.
- axiome de séparation : Soit $A$ un ensemble, et $P$ une fonction définie sur les éléments de $A$ et qui vaut "vrai" ou "faux". Alors il existe un ensemble constitué par les éléments $x$ de $A$ pour lesquels $P(x)$ vaut vrai. Par exemple, si $A$ est l'ensemble des entiers naturels, et $P(n)$ est vrai si $n$ est pair, faux si $n$ est impair, l'axiome de séparation dit que les entiers naturels pairs forment un ensemble. C'est cet axiome qui permet aussi de définir les opérations d'intersection et de passage au complémentaire.
- axiome de l'ensemble infini : Il existe au moins un ensemble qui contient l'ensemble vide et tel que, si $y$ est élément de cet ensemble, alors $y\cup\{y\}$ est aussi élément de l'ensemble. Essentiellement, cet axiome dit que l'on peut considérer l'ensemble dont les éléments sont $$\varnothing,\ \{\varnothing\},\ \{\varnothing,\{\varnothing\}\},\{ \varnothing,\ \{\varnothing\},\ \{\varnothing,\{\varnothing\}\} \}.$$ Ceci permet notamment d'inclure dans la théorie les constructions de $\mathbb N$ dues à Frege et Russell.
- axiome de l'ensemble des parties : Pour tout ensemble $A,$ il existe un ensemble $B$ dont les éléments sont exactement tous les sous-ensembles de $A.$ Cet ensemble s'appelle ensemble des parties de $A.$ Par exemple, si $A=\{1,2\},$ l'ensemble des parties de A est $\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}.$
L'ensemble des axiomes précédents s'appelle système de Zermelo. En 1922, Fraenkel (et indépendamment Skolem en 1923) renforça l'axiome de séparation en ajoutant l'axiome de remplacement, qui dit essentiellement ceci : si on définit une fonction par des formules de la théorie des ensembles, et si on considère les éléments pour lesquels cette fonction vérifie une certaine propriété, alors on obtient encore un ensemble. Le système ainsi obtenu s'appelle système de Zermelo-Fraenkel, souvent abrégé système ZF, dans lequel une bonne partie des mathématiques est développé. On a pourtant besoin, en analyse surtout, d'un dernier axiome :
- axiome du choix : si on a une famille d'ensembles disjoints, et qu'on considère un élément de chaque ensemble, alors on peut considérer l'ensemble formé par ces éléments, même si aucune propriété explicite ne permet de les choisir. Cet axiome, qui a des conséquences très étranges, est catégoriquement refusé par les intuitionnistes! La théorie ZF, étendue par l'axiome du choix, s'appelle alors théorie ZFC.