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Loi du zéro-un de Kolmogorov

La loi du zéro-un de Kolmogorov énonce que certains événements dit de queue relatifs à une suite infinie de variables aléatoires indépendantes ne peuvent pas avoir une probabilité autre que 0 ou 1.

Formellement, on fixe $(\Omega,\mathcal A,P)$ un espace de probabilité, $(A_n)$ une suite de sous-tribus de $A$, indépendantes. Pour $n\geq 1$, on pose $B_n$ la tribu engendrée par $\bigcup_{k\geq n}A_k$ et $A_\infty=\bigcap_{n\geq 1}B_n.$ Un événement de queue associé à la suite $(A_n)$ est un événement de $A_\infty$.

Théorème (loi du zéro-un de Kolmogorov) : Pour tout événement de queue $A$, on a $p(A)=0$ ou $p(A)=1$.

Bizarrement, il est parfois très difficile de trancher entre $0$ et $1$.

On applique souvent la loi du zéro-un au contexte suivant. On a une suite de variables aléatoires $(X_n)$ et on pose $A_n$ la tribu engendrée par les $X_n^{-1}(B)$, où $B$ est un borélien de $\mathbb R$. Un événement de queue relatif à la suite $(X_n)$ est alors un événement dont la réalisation dépend de la suite $(X_n)$, mais est indépendante de toute sous-suite finie extraite de $(X_n)$. Par exemple,

  • l'événement "$\sum_{n\geq 1}X_n \textrm{ converge}$" est un événement de queue, sa réalisation dépend du comportement de $X_n$ quand $n$ va à l'infini, mais pas de $X_1,\dots,X_p$, pour toute valeur de $p$ finie;
  • l'événement "$\sum_{n\geq 1}X_n\geq 1$" n'est pas un événement de queue, sa réalisation dépend de $X_1$.
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