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Loi du zéro-un de Kolmogorov

  La loi du zéro-un de Kolmogorov énonce que certains événements dit de queue relatifs à une suite infinie de variables aléatoires indépendantes ne peuvent pas avoir une probabilité autre que 0 ou 1.

  Formellement, on fixe un espace de probabilité, (An) une suite de sous-tribus de A, indépendantes, Bn la tribu engendrée par et . Un événement de queue associé à la suite (An) est un événement de .

Théorème (loi du zéro-un de Kolmogorov) : Pour tout événement de queue A, on a p(A)=0 ou p(A)=1.
Bizarrement, il est parfois très difficile de trancher entre 0 et 1.

  Le plus souvent, on a une suite de variables aléatoires (Xn) et on pose An la tribu engendrée par Xn-1(B), où B est un borélien de Rn. Un événement de queue relatif à la suite (Xn) est alors un événement dont la réalisation dépend de la suite (Xn), mais est indépendant de toute sous-suite finie extraite de (Xn). Par exemple,
  • l'événement est un événement de queue, sa réalisation dépend du comportement de Xn quand n va à l'infini;
  • l'événement n'est pas un événement de queue, sa réalisation dépend de X1.